$1+i$ es un elemento primo del anillo de enteros de Gauss.

Question

Quiero demostrar que $1+i$ es un elemento primo del anillo de enteros de Gauss $Z[i]$ . Empecé diciendo que si $1+i$ es primo entonces $1+i|(a+bi)(c+di)$ implica $1+i|a+bi$ o $1+i|c+di$ para $a+bi,c+di$ en $Z[i]$ . Tomando la conjugación, obtenemos

$1-i|(a-bi)(c-di)$

A continuación, tenemos,

$2|(a^2+b^2)(c^2+d^2)$

Desde $2$ es un primo en $Z$ por lo que $2|(a^2+b^2)$ o $2|(c^2+d^2)$ . Después de esto estoy atascado. No sé cómo conseguir $1+i|a+bi$ o $1+i|c+di$ de aquí. Por favor, sugiera.

Answer 1

En primer lugar, su forma de plantear la solución no es del todo correcta. Si está tratando de demostrar que $z$ es primordial, no debe comenzar con "Si $z$ es primo". Sin embargo, su trabajo es realmente salvable.

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Ha demostrado que si $(1 + i) \mid (a + bi)(c + di)$ entonces eso solo implica $2 \mid (a^2 + b^2)(c^2 + d^2)$ .
(Sin ninguna suposición de $1 + i$ siendo primo. A esto me refería con "salvable").

WLOG, tenemos $2 \mid (a^2 + b^2)$ . (Queremos demostrar que $(1 + i) \mid (a + bi)$ .)

Por lo tanto, o bien $a$ y $b$ son ambos pares o ambos Impares.

Caso 1. $a$ y $b$ están igualados.
En este caso, $2 \mid a$ y $2 \mid b$ y por lo tanto, $2 \mid (a + bi)$ . Desde $1 + i \mid 2$ has terminado.

Caso 2. $a$ y $b$ son impar.
Escriba $a = 2a' + 1$ y $b = 2b' + 1$ para los enteros $a', b'$ .
Entonces, $$a + bi = 2(a' + b'i) + (1 + i).$$ De nuevo, ya que $(1 + i) \mid 2$ se deduce que $(1 + i) \mid a + bi$ .