Suma de una expresión $\sum_{h=0}^{\ln n}\frac{h}{2^h}$

Question

¿Cómo podemos obtener la forma cerrada de esta expresión?

$$ \sum_{h=0}^{\ln n}\frac{h}{2^h} $$

Answer 1

Aquí hay una evaluación finita útil: $$ 1+r+r^2+...+r^n=\frac{1-r^{n+1}}{1-r}, \quad |r|<1. \tag1 $$ Entonces, diferenciando $(1)$ y multiplicando por $r$ se obtiene $$ \sum_{h=0}^Nhr^h=r+2r^2+3r^3+...+Nr^N=r\frac{1-r^{N+1}}{(1-r)^2}-\frac{(N+1)r^{N+1}}{1-r}, \quad |r|<1, \tag2 $$ entonces si pones $r:=\dfrac12$ , $N=\lfloor \log n\rfloor $ , obtendrá una respuesta a su pregunta.

Answer 2

Una pista:

Dejemos que $f(x)$ sea la progresión geométrica

$$f(x)=\sum_{h=0}^{\lfloor \log(n)\rfloor}x^h \tag 1$$

y observe que

$$xf'(x)=\sum_{h=0}^{\lfloor\log(n)\rfloor}h x^h$$

Entonces, dejemos que $x=1/2$ .