Órbitas del sistema dinámico $\dot r=-r\log r$ , $\dot\varphi=2r\sin^2\left(\varphi/2\right)$

Question

Tengo una pregunta con respecto a esta ED bidimensional específica: $$\dot r=-r\log r\\\dot\varphi=2r\sin^2\left(\frac{\varphi}{2}\right)$$ donde $r> 0$ y $\varphi\in [0,\infty)$ (Sí, $2\pi$ también lo haría).

Ahora, quiero ver cómo el punto estacionario $(1,0)$ es atractivo. Es fácil ver que $\dot\varphi>0$ en todo momento $t$ por lo que todas las soluciones giran constantemente hasta llegar a un punto estacionario. Para los valores iniciales a la izquierda de $(1,0)$ (así $r<1$ ) también vemos que $\dot r>0$ y para los valores iniciales a la derecha de $(1,0)$ tenemos $\dot r<0$ . Así que digamos que empezamos en algún punto del primer cuadrante a la izquierda de $(1,0)$ (por ejemplo $\frac{1}{2}(1,1)$ ). Entonces la solución se mueve en la dirección del círculo unitario al mismo tiempo que hace una espiral ya que $\dot\varphi >0$ . Pero, ¿cómo funciona esto? ¿Cómo puede $\varphi$ y $r$ ambos aumentan en todo momento cuando empiezo a la izquierda por encima del punto estacionario $(1,0)$ ? ¿Cómo se puede golpear $(1,0)$ ¿sin disminuir de nuevo?

Espero haber podido aclarar mi problema lo suficiente. Si no es así, puedo proporcionar un croquis de lo que quiero decir. Tal vez también mi pregunta puede ser respondida si alguien proporciona un boceto de la trayectoria a partir del punto mencionado $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ .

Answer 1

Sugerencia

Desde

$$ \dot r=-r\log r\rightarrow -\frac{dr}{r\log r} = dt $$

o

$$ \log r = C_0 e^{-t}\to r = e^{C_0 e^{-t}} $$

o también

$$ \frac{dr}{d\varphi} = -\frac{\log r}{2\sin^2(\frac{\varphi}{2})} $$

Se trata de una ED separable y puede disponerse como

$$ -\frac{dr}{\log r} = \frac{d\varphi}{2\sin^2(\frac{\varphi}{2})} $$

etc.

Tras un conveniente cambio de variables,

$$ x = r\cos\varphi\\ y = r\sin\varphi\\ \dot x = \cos\varphi \dot r - r\sin\varphi \dot\varphi\\ \dot y = \sin\varphi \dot r + r\cos\varphi \dot \varphi $$

y

$$ \dot r = -\sqrt{x^2+y^2}\log(\sqrt{x^2+y^2})\\ \dot \varphi = 2\sqrt{x^2+y^2}\sin^2\left(\frac{\tan^{-1}(\frac yx)}{2}\right) $$

y después de una pequeña elaboración tenemos la trama de la corriente

Answer 2

Si $0<r<1$ tenemos $\dot{r}>0$ , lo que significa que $r$ aumentará. Si $1<r$ entonces $\dot{r}<0$ Así que $r$ disminuirá. Esto implica que $r=1$ es atractivo, y punto. No importa dónde empiece el sistema (que no sea en el origen indefinido), $r=1$ es atractivo.

La solución exacta del $r$ la ecuación es $r(t)=e^{e^{-t+C}}$ o $r(t)=e^{A\,e^{-t}},$ donde $A=e^C$ . Esto es siempre positivo.

Si nos fijamos en el $\varphi$ vemos que $\dot{\varphi}\ge 0$ para todos $r,\varphi$ (y por tanto para siempre). Los puntos estacionarios para $\varphi$ son: $$\frac{\varphi}{2}=n\pi\quad\implies\quad \varphi=2n\pi.$$ Por lo tanto, decimos que dondequiera que $\varphi$ comienza, se incrementará hasta el siguiente múltiplo entero de $2\pi$ , a la que se acercará asintóticamente sin superarla. En el sistema polar, por tanto, sólo hay realmente un único punto atractor: $(1,0)$ .