Integral de volumen sobre un cono

Question

Estoy tratando de integrar $I = \rho\int_V(y^2+z^2)dv$ sobre un cono de radio de base $R$ y la altura $H$ , donde $\rho$ es una constante. Las coordenadas $y$ y $z$ son las coordenadas del elemento de volumen. En coordenadas cilíndricas, tenemos $$dv = rdrd\theta dz$$

y $$y = r\sin \theta$$

Ahora la integral $I$ debe ser $$I = \int_0^R\int_0^{2\pi}\int_0^H(r^3\sin^2\theta+z^2r)drd\theta dz$$

¿Es correcta esta conversión a coordenadas cilíndricas? El fondo de la cuestión es el tensor de momento de inercia de dicho cono.

Answer 1

A juzgar por los límites, el orden en el que se quiere realizar la integración es $dz~d\theta~dr$ . Es casi correcto, excepto por el límite superior de $z$ : debe ser $H(1-r/R)$ .

Aquí hay una sección transversal del cono. $\triangle AHF\sim\triangle ADC$ da $\frac{H-z}r=\frac HR$ que da lugar a la expresión anterior.

Answer 2

No. Sería la integral sobre el cilindro con la misma base y la misma altura. Debería ser $$\rho\int_0^{2\pi}\int_0^R\int_0^{H(1-r/R)}(r^3\sin^2(\theta)-z^2r)\,\mathrm dz\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta,$$ que es igual a $$\frac{\rho\pi HR^2}{60}(3R^2-2H^2).$$