¿Langlands topológico?

Question

En un taller sobre la geometría de $\mathbb{F}_1$ Hace poco asistí a una pregunta relacionada con un seminario misterioso pero "no tan secreto" sobre... ¡una hipotética Correspondencia Topológica de Langlands!

Nunca había oído hablar de este programa; he encontrado esta página a través de Google:

http://www.math.jhu.edu/~asalch/toplang/

Sólo conozco un poco el Programa Langlands de Teoría de Números, y todavía me cuesta entender lo que ocurre en el de Geometría, así que no puedo ni siquiera empezar a dibujar una imagen global a partir de la información dispersa en ese sitio.

Así que las preguntas son: ¿Qué sabes (o qué puedes deducir de la web) sobre la Correspondencia Topológica de Langlands? ¿Cuál es la imagen global? ¿Cuáles son sus analogías con el Programa Langlands (original)? ¿Es factible, o sólo un "jueguecito" por ahora? ¿Qué se ha demostrado hasta ahora? ¿Qué implicaciones tendría?

(Nota: Es un poco difícil etiquetar este, siéntase libre de reetiquetar si tiene un mejor conocimiento del tema que yo).

Answer 1

Me encantaría saber la respuesta a su pregunta. Por desgracia, yo mismo no tengo una idea clara de lo que deberían ser las tierras topológicas. Lo mejor que puedo decir es que una serie de elementos que aparecen en la historia de Langlands (especialmente langlands locales, a la Harris y Taylor) aparecen en la teoría de la homotopía: cosas como grupos formales de Lubin-Tate, grupos p-divisibles, formas automórficas, operadores de Hecke.

Un pensamiento. Se supone que el caso básico de la correspondencia de Langlands es la teoría de campos de clase. En topología, el análogo de la teoría de campos de clases (sobre los racionales, al menos), me parece que es la historia de la "conjetura de Adams", que fue demostrada alrededor de 1969 por Quillen y Sullivan. Véase mi respuesta en ¿Qué tipo de operaciones geométricas "escalan" la cohomología? para una descripción (muy breve) de esto.

Answer 2

Mi respuesta a esta pregunta (cuando surgió en el café de categoría n) es aquí - más abajo en esa página hay una discusión más informativa de Jack Morava y Jim Borger sobre la teoría de los campos de clase y la teoría de la homotopía (y algunos trabajos relacionados de Charles). Pero en cualquier caso parece que no existe un "programa topológico de Langlands" en este momento, sino que por ahora como dice Charles es más bien que las variedades especiales de Shimura juegan un papel central en ambos.