Para demostrar $a^2+ab+b^2 \Big|(a+b)^{2n}+a^{2n}+b^{2n}$ siempre que $3$ no divide $n$

Question

Si $3$ no divide un entero positivo $n$ Entonces, ¿cómo demostrar que $a^2+ab+b^2 \Big|(a+b)^{2n}+a^{2n}+b^{2n}$ ?

Answer 1

Una pista: Esta pregunta equivale a considerar

$$ x^2 + x + 1 \mid (x+1) ^{2n} + x^{2n} + 1 $$

Una pista: Utiliza las raíces cúbicas de la unidad. Específicamente, $ \omega^2 + \omega + 1 = 0$ .

Demuestra que $ ( \omega +1)^{2n} + \omega^{2n} + 1^{2n} = 0 \Leftrightarrow 3 \not \mid n$ .

Answer 2

Nota: $a^2+ab+b^2=(a-b\omega)(a-b\omega^2)$ . Demostrar que $a=b\omega$ y $a=b\omega^2$ son raíces de la expresión $(a+b)^{2n}+a^{2n}+b^{2n}$ también. Para ello necesitará $3 \not| n$ .

Answer 3

Me quedaré en los reales. Tenga en cuenta que: $$(a+b)^2\equiv ab \mod{a^2+ab+b^2}\implies (a+b)^{2n}\equiv (ab)^n \mod{a^2+ab+b^2}$$ Así que $(a+b)^n+a^{2n}+b^{2n}\equiv a^nb^n+a^{2n}+b^{2n}$ . Además, sabemos que $a^3\equiv b^3$ . Así que el ajuste $n=3q+1$ tenemos: $$a^nb^n+a^{2n}+b^{2n}\equiv ab^{6q+1}+a^2b^{6q}+b^{6q+2} \equiv b^{6q}(ab+a^2+b^2)\equiv 0$$ Del mismo modo, si $n=3q+2$ : $$a^nb^n+a^{2n}+b^{2n}\equiv a^2b^{6q+2}+ab^{6q+3}+b^{6q+4} \equiv b^{6q+2}(a^2+ab+b^2)\equiv 0$$