Consideremos dos bases en $\mathbb{R}^{n}$ y supongamos $k$ es menor que $n$ . Tome $k$ vectores de la primera base. Demostrar que podemos intercambiarlos con $k$ vectores de la segunda base de tal manera que al final tenemos dos nuevas bases.
He encontrado esta respuesta, pero no la entiendo:
https://www.artofproblemsolving.com/community/c7h101634p573784
Esto es más un ejemplo o una bomba de intuición que una respuesta completa, pero pensé que podría ser útil. (Por otro lado, podría no venir al caso, dependiendo de qué aspecto de la prueba no entiendas).
El paso clave en la prueba del Arte de Resolver Problemas es la afirmación final de que el determinante puede expandirse como una combinación lineal de productos de menores de la forma $\Delta_k\Delta_{n-k}$ ponderado con coeficientes que son $1$ o $-1$ . Este hecho es una generalización del conocido Expansión de Laplace que es el caso especial de la reivindicación AoPS cuando $k=1$ . (Esta generalización se menciona, pero no se demuestra, al final del artículo de Wikipedia bajo el título "Declaración general").
Me gusta pensar en estos hechos en términos de productos de cuña. Dejemos que $A$ ser un $n\times n$ matriz, dejemos que $e_i$ denota la base estándar, y dejemos que $b_i$ denotan el $i$ -en la columna de $A$ , $b_i:=Ae_i$ . Ahora recordemos que el determinante de $A$ es el escalar (único y bien definido) $\det A$ tal que
$$b_1\wedge \cdots\wedge b_n=(\det A)\,e_1\wedge\cdots\wedge e_n$$
La cuestión es que obtenemos diferentes representaciones de $\det A$ como combinaciones lineales de menores en función de cómo se esculpe el producto de la cuña en el lado izquierdo.
Para concretar, ilustraré cómo funciona esto para la expansión de Laplace a lo largo de la primera fila y luego sugeriré cómo funciona para la expansión a lo largo de las dos primeras filas.
Si ampliamos $b_1=Ae_1=a_{11}e_1+\cdots+a_{1n}e_n$ La linealidad del producto cuña dice que el lado izquierdo es
$$a_{11}\,e_1\wedge b_2\wedge\cdots\wedge b_n+a_{12}\,e_2\wedge b_2\wedge\cdots\wedge b_n+\cdots+a_{1n}\,e_n\wedge b_2\wedge\cdots\wedge b_n\tag{$ \N - La estrella $}$$
Pero $e_i\wedge b_2\wedge\cdots\wedge b_n$ es sólo un escalar múltiplo del producto en cuña de $e_i$ con el otro $e_j$ con índices en orden ascendente, y ese múltiplo escalar es precisamente el menor $M_{1i}$ (el determinante de la submatriz formada al suprimir la fila 1 y la columna $i$ ). Es decir,
$$e_i\wedge b_2\wedge\cdots\wedge b_n=M_{1i}\,\color{red}{e_i\wedge(e_1\wedge\cdots\wedge\tilde{e_i}\wedge\cdots\wedge e_n)}$$
donde la tilde indica que $e_i$ debe ser omitido. Permutando la expresión roja para que los índices sean ascendentes, es decir, permutando para obtener $e_1\wedge e_2\wedge\cdots\wedge e_n$ simplemente cambiamos el signo del coeficiente. Poniendo todo esto junto, $(\star)$ muestra $\det A$ como una combinación lineal de productos de la forma $a_{1i}M_{1i}$ donde los coeficientes de estos productos son $1$ o $-1$ dependiendo del signo de la permutación requerida en el último paso. Es la expansión de Laplace de $\det A$ a lo largo de la primera fila.
Para obtener una representación diferente de $\det A$ podemos continuar con $(\star)$ ampliando otra columna, por ejemplo $b_2=a_{21}e_1+\cdots+a_{2n}e_n$ . Os dejo que veáis que obtendremos una suma de la forma
$$\sum_{i<j}c_{ij}(e_i\wedge e_j)\wedge(b_3\wedge\cdots\wedge b_n)\tag{$ \N - Cuadrado $}$$
donde $c_{ij}$ es el $2\times 2$ determinante de la submatriz formada por las entradas de las dos primeras filas y columnas $i$ y $j$ . Además, tendremos
$$(e_i\wedge e_j)\wedge(b_3\wedge\cdots\wedge b_n)=d_{ij}\color{blue}{(e_i\wedge e_j)\wedge(e_1\wedge\cdots\wedge\tilde{e_i}\wedge\cdots\wedge\tilde{e_j}\wedge\cdots\wedge e_n)}$$
y se puede demostrar la $d_{ij}$ son los determinantes de las matrices del complemento del $2\times 2$ matrices que dan la $c_{ij}$ . Así, permutando de nuevo, $(\square)$ muestra $\det A$ como una combinación lineal de productos de la forma $c_{ij}d_{ij}$ , de nuevo con pesos $\pm1$ . En la notación de la prueba AoPS, esta es la representación de $\det A$ en términos de productos de la forma $\Delta_2\Delta_{n-2}$ .
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