Puedes construir la aproximación discretizada de tu función $$f(t) = \frac{1}{e^t-1}$$
Al discretizar la función si se utilizan pasos de tiempo de longitud $\Delta_T$ : $\{\cdots, -2\Delta_T,-\Delta_T,0,\Delta_T, 2\Delta_T, \cdots\}$ . Para muchas funciones una forma trivial de muestreo sería simplemente calcular $f(t)$ para el valor directamente. En el caso de nuestra función, que tiene una singularidad, esto tiene una alta probabilidad de introducir errores cuando la función tiene un comportamiento demasiado violento dentro de una muestra. En su lugar, podemos optar por muestrear con integrales de corto plazo:
$$f[k] = \frac{1}{\Delta_T}\int_{\Delta_T(k-1/2)}^{\Delta_T(k+1/2)}f(t)dt$$
De este modo, podemos utilizar el valor principal de Cauchy como reemplazo de esta integral para la única muestra que da justo en la singularidad: $t\approx 0, (k=0)$ . Podemos optar por hacerlo también para otras muestras, pero como la función es tan suave en todas partes es probable que la suma central de Riemann esté bastante cerca del valor de la integral de tiempo corto:
$$\Delta_T \cdot f(k\Delta_T ) \approx \int_{\Delta_T(k-1/2)}^{\Delta_T(k+1/2)}f(t)dt$$
Esto se representa a menudo en los libros de cálculo con el punto medio de las funciones en los intervalos por la anchura del intervalo que es casi igual a la integral (área bajo la curva).
Al considerar la FFT para calcular las convoluciones hay que tener en cuenta una importante propiedad de las funciones base (exponenciales complejas): son todas globales (no tienen soporte compacto). Utilizar combinaciones lineales de dichas funciones para describir algo con un comportamiento muy localizado (como son las singularidades) puede ser una mala idea = requiere muchos valores distintos de cero. Y además podemos perder precisión.
