¿Son todas las desigualdades polinómicas deducibles de la desigualdad trivial?

Question

Recuerdo haber aprendido hace algunos años un teorema según el cual si un polinomio $p(x_1, ... x_n)$ con coeficientes reales es no negativo en $\mathbb{R}^n$ entonces es una suma de cuadrados de polinomios en las variables $x_i$ . Desgraciadamente, no estoy seguro de estar recordando correctamente. (El contexto en el que vi este teorema fue cuando alguien preguntó si había una prueba de suma de cuadrados de la desigualdad AM-GM en $n$ variables, así que no estoy 100% seguro de si el teorema citado era específico para ese caso).

Entonces: ¿alguien conoce una referencia para el enunciado correcto de este teorema, si es que algo así es cierto? (Por cierto, siéntase libre de volver a etiquetar si no le parece apropiado).

Answer 1

Teniendo en cuenta la palabra Deducir Creo que una posible forma de abordar esta cuestión es utilizar la lógica, más concretamente la teoría de modelos. He aquí un replanteamiento teórico de tu pregunta: ¿Cuál es una buena axiomatización de la teoría libre de cuantificadores de los reales como anillo ordenado? La respuesta es un teorema clásico de Tarski, que también resuelve el problema 17 de Hilbert con algo de álgebra. El teorema de Tarski dice que la teoría de los campos reales cerrados tiene eliminación de cuantificadores. Esto implica que la teoría de los campos reales cerrados es completa, ya que existe un modelo algebraicamente primo, a saber, los racionales. Así que un sistema válido de desigualdades polinómicas en cualquier campo real cerrado es deducible de los axiomas de los campos reales cerrados.