¿Son todas las desigualdades polinómicas deducibles de la desigualdad trivial?

Question

Recuerdo haber aprendido hace algunos años un teorema según el cual si un polinomio $p(x_1, ... x_n)$ con coeficientes reales es no negativo en $\mathbb{R}^n$ entonces es una suma de cuadrados de polinomios en las variables $x_i$ . Desgraciadamente, no estoy seguro de estar recordando correctamente. (El contexto en el que vi este teorema fue cuando alguien preguntó si había una prueba de suma de cuadrados de la desigualdad AM-GM en $n$ variables, así que no estoy 100% seguro de si el teorema citado era específico para ese caso).

Entonces: ¿alguien conoce una referencia para el enunciado correcto de este teorema, si es que algo así es cierto? (Por cierto, siéntase libre de volver a etiquetar si no le parece apropiado).

Answer 1

Una interpretación de la pregunta es El decimoséptimo problema de Hilbert para caracterizar los polinomios en $\mathbb{R}^n$ que toman valores no negativos. El problema está motivado por el bonito resultado, no muy difícil, de que un polinomio no negativo en $\mathbb{R}[x]$ (una variable) es una suma de dos cuadrados. Lo divertido de este resultado es que establece una analogía entre $\mathbb{C}[x]$ , visto como una extensión cuadrática por $i$ del dominio euclidiano $\mathbb{R}[x]$ y $\mathbb{Z}[i]$ (los enteros de Gauss), visto como una extensión cuadrática por $i$ del dominio euclidiano $\mathbb{Z}$ . En esta analogía, un polinomio lineal real es como un primo que es 3 mod 4 que sigue siendo un primo gaussiano, mientras que un polinomio cuadrático irreducible es como un primo que no es 3 mod 4, que entonces no es un primo gaussiano. Un número entero no nulo $n \in \mathbb{Z}$ es una suma de dos cuadrados si y sólo si es positiva y cada primo que es 3 mod 4 ocurre uniformemente. Análogamente, un polinomio $p \in \mathbb{R}[x]$ es una suma de dos cuadrados si y sólo si algún valor es positivo y cada factor lineal real ocurre uniformemente. Y esto es una forma de decir que $p$ toma valores no negativos.

En dimensión 2 y superior, el resultado no es válido para sumas de cuadrados de polinomios. Pero como dice la página de Wikipedia, Artin demostró que un polinomio (o función racional) no negativo en cualquier número de variables es al menos una suma de cuadrados de funciones racionales.

En general, si $R[i]$ y $R$ son ambos dominios de factorización única, entonces algunos de los primos en $R$ tienen dos factores conjugados (o conjugados y asociados) en $R[i]$ mientras que otros primos en $R$ siguen siendo primos en $R[i]$ . Esto siempre conduce a una caracterización de los elementos de $R$ que son sumas de dos cuadrados. Esta parte sí se aplica al anillo polinómico multivariante $R = \mathbb{R}[\vec{x}]$ . Lo que ya no se sostiene es la inferencia de que si $p \in R$ tiene valores no negativos, entonces los factores de no división se producen de manera uniforme. Por ejemplo, $x^2+y^2+1$ es un polinomio positivo que permanece irreducible sobre $\mathbb{C}$ . Es una suma de 3 cuadrados en lugar de 2 cuadrados; por supuesto, hay que trabajar más para encontrar un polinomio que no sea una suma de cuadrados.

Answer 2

No exactamente - es posible que tenga que permitir los cuadrados de las funciones racionales, no sólo los polinomios. Esto es El 17º problema de Hilbert .

Answer 3

Permítanme llamar su atención sobre el papel "Hay muchos más polinomios no negativos que sumas de cuadrados" por Grigoriy Blekherman. Aquí están diapositivas de una charla relacionada por Grigoriy.

El resumen dice: "Estudiamos la relación cuantitativa entre los conos de polinomios no negativos, los conos de sumas de cuadrados y los conos de sumas de potencias pares de formas lineales. Derivamos límites sobre los volúmenes (elevados a la potencia recíproca a la dimensión ambiental) de secciones compactas de los tres conos. Demostramos que los límites son asintóticamente exactos si el grado es fijo y el número de variables tiende a infinito. Cuando el grado es mayor que dos, se deduce que hay bastantes más polinomios no negativos que sumas de cuadrados y hay bastantes más sumas de cuadrados que sumas de potencias pares de formas lineales. Además, cuantificamos la discrepancia exacta entre los conos; de nuestros límites se deduce que la discrepancia crece a medida que aumenta el número de variables."

Answer 4

En resumen: es cierto en tres casos:

• para el polinomio de grado 2
• para el polinomio de grado 4 en dos variables
• para el polinomio en una variable.

La respuesta está aquí:

Hilbert, D. Ueber die Darstellung deniter Formen als Summe von Formenquadraten. Matemáticas. Annalen vol. 32, p. 342-350 (1888)

Answer 5

Hay una página de Wikipedia sobre sumas polinómicas de cuadrados . Hilbert demostró en el artículo citado por Anton que todos los polinomios no negativos son sumas de cuadrados en las tres situaciones siguientes:

• polinomios univariantes de cualquier grado (y sólo se necesitan dos cuadrados)
• polinomios cuadráticos en cualquier número de variables $n$ (y como máximo $n$ cuadrados, que pueden obtenerse a partir de la descomposición de Cholesky de la matriz semidefinida positiva asociada)
• polinomios de grado cuatro en dos variables

Uno de los ejemplos más sencillos de polinomio no negativo que no es una suma de cuadrados es el Motzkin polinomio, dado por $p(x,y)=1 + x^2 y^4 + x^4 y^2 - 3x^2 y^2$ . Curiosamente, se puede demostrar fácilmente que es no negativo utilizando la media aritmética-geométrica (en los tres primeros términos), mientras que un razonamiento cuidadoso sobre los ceros de una posible descomposición en cuadrados muestra que no es suma de cuadrados (véase, por ejemplo Algunos aspectos concretos del 17º problema de Hilbert - ps , pdf - por Bruce Reznick ).

Por último, hay que tener en cuenta que las descomposiciones de la suma de los cuadrados de un polinomio dado pueden calcularse numéricamente utilizando la programación semidefinida.