Grupos de simetría correspondientes a los términos de un álgebra

Question

Dado un álgebra (en el sentido de álgebra universal ) $\mathcal{A}$ con al menos una operación de aridad $>1$ que el espectro de simetría de $A$ sea la clase $\mathsf{SySp}(\mathcal{A})$ de grupos finitos $G$ de tal manera que haya algún $G\cong H\subseteq S_n$ y algunos $\mathcal{A}$ -término $t(x_1,...,x_n)$ (en la que cada variable $x_i$ ( $1\le i\le n$ ) aparece realmente - no hay "variables ficticias") con la propiedad de que $$H=\{\sigma\in S_n:\forall a_1,...,a_n\in\mathcal{A}[t(a_1,...,a_n)=t(a_{\sigma(1)},...,a_{\sigma(n)})]\}.$$ Por ejemplo, aunque la exponenciación no es conmutativa, el espectro de simetría de $\mathcal{E}=(\mathbb{N};\mathit{exp})$ hace contienen el grupo $S_2$ a través del término $(x^y)^z$ . Mientras tanto, tenemos (modulo isomorfismo shenanigans) que $\mathsf{SySp}(\mathbb{N};\max)=\{S_n:n\in\mathbb{N}\}$ y si $\star:\mathbb{N}^2\rightarrow\mathbb{N}$ es inyectiva tenemos $\mathsf{SySp}(\mathbb{N};\star)$ consiste sólo en el grupo o grupos triviales.

(Obsérvese que aquí podemos elegir entre términos genuinos y términos con parámetros . Estoy tentativamente más centrado en lo primero, pero definitivamente también estoy interesado en lo segundo y abierto a la posibilidad de que lo segundo sea realmente más digno de consideración).

En general, me interesa lo que podemos decir sobre la función $\mathsf{SySp}$ . Una cosa en la que estoy pensando específicamente es en las diferentes formas en que $\mathsf{SySp}(\mathcal{A})$ puede ser "grande" para un álgebra dada $\mathcal{A}$ . Esta es una pregunta que ha surgido en este contexto:

Supongamos que $\mathsf{SySp}(\mathcal{A})$ contiene grupos finitos arbitrariamente grandes. ¿Debe todo grupo finito incrustarse en un elemento de $\mathsf{SySp}(\mathcal{A})$ ?

Tengo la firme sospecha de que la respuesta es negativo y, de hecho, hay muchos contraejemplos naturales. Sin embargo, parece difícil dar descripciones suficientemente completas de los espectros de simetría incluso para álgebras "razonables".

Answer 1

En primer lugar, permítanme señalar que si $\mathsf{SySp}(\mathcal{A})$ contiene cualquier grupo no trivial entonces contiene grupos finitos arbitrariamente grandes. Esto es así porque si $t(x_1,\dots,x_n)$ tiene un grupo de simetría $H$ , entonces para cualquier $m$ -operación de los medios de comunicación $s$ el grupo de simetría del término $s(t(x_{11},\dots,x_{1n}),\dots,t(x_{m1},\dots,x_{mn}))$ es al menos tan grande como $H^m$ (ya que se puede aplicar $H$ a cada uno de los conjuntos de $n$ variables internas de forma independiente).

Ahora dejemos que $S$ sea un conjunto infinito (en realidad, probablemente baste con que $S$ para que sólo sea no vacía) y que $\mathcal{A}$ sea el álgebra libre en $S$ con una operación binaria conmutativa. Afirmo que $\mathsf{SySp}(\mathcal{A})$ consiste en su totalidad en $2$ -grupos.

Para demostrarlo, hay que tener en cuenta que podemos pensar en elementos de $\mathcal{A}$ como clases de isomorfismo de árboles finitos no vacíos en los que todos los nodos que no son hojas tienen dos hijos (los llamaremos "árboles binarios") junto con un etiquetado de las hojas por elementos de $S$ . Del mismo modo, podemos identificar un término con un árbol binario en el que cada hoja está etiquetada por una de nuestras variables, y dos términos son equivalentes si los correspondientes árboles etiquetados son isomorfos. Fijemos un término $t$ y que $T$ sea el árbol binario correspondiente (sin el etiquetado). Sea $H\subseteq S_n$ sea el grupo de simetría de $t$ y que $G$ sea el grupo de automorfismo de $T$ . Nótese que una permutación $\sigma\in S_n$ está en $H$ si existe un automorfismo $f:T\to T$ que envía cada hoja etiquetada $i$ a una hoja etiquetada como $\sigma(i)$ . Sea $G_0\subseteq G$ sea el subgrupo formado por los automorfismos $f$ que tienen esta propiedad para algunos $\sigma\in S_n$ . Tenemos entonces un homomorfismo surjetivo $G_0\to H$ enviando $f$ a $\sigma$ (esto está bien definido debido al requisito de que cada variable debe aparecer realmente en $t$ ).

Por lo tanto, para demostrar que $H$ es un $2$ -basta con demostrar que $G_0$ es un $2$ -y para ello basta con demostrar que $G$ es un $2$ -grupo. En otras palabras, basta con demostrar que el grupo de automorfismo de cualquier árbol binario es un $2$ -grupo. Esto es fácil por inducción en el tamaño del árbol. El caso base de una sola hoja es trivial. Para el paso de inducción, supongamos que tenemos un árbol binario $T$ que consiste en una raíz con dos subárboles $T_0$ y $T_1$ por debajo de ella, y ya conocemos los grupos de automorfismo de $T_0$ y $T_1$ sont $2$ -grupos. Existe un homomorfismo $\operatorname{Aut}(T)\to S_2$ que envía un automorfismo de $T$ a cómo se permuta $\{T_0,T_1\}$ . El núcleo de este homomorfismo está formado por los automorfismos de $T$ que mapean cada uno de $T_0$ y $T_1$ a sí mismos, lo que es justo $\operatorname{Aut}(T_0)\times\operatorname{Aut}(T_1)$ . Dado que ambos $S_2$ y $\operatorname{Aut}(T_0)\times\operatorname{Aut}(T_1)$ sont $2$ -se deduce que $\operatorname{Aut}(T)$ es un $2$ -grupo.

(De forma más general, en lugar de una única operación binaria conmutativa, se podría considerar una colección arbitraria de operaciones que tienen grupos de simetría dados $G_i$ en sus entradas. Entonces un argumento similar debería mostrar que si $\mathcal{A}$ es un álgebra libre sobre infinitos generadores con respecto a tales operaciones, los órdenes de los elementos de $\mathsf{SySp}(\mathcal{A})$ sólo puede ser divisible por los primos que dividen a algún $|G_i|$ .)