¿Es un grupo de espacios algebraicos siempre un esquema?

Question

Supongamos que G es un objeto de grupo en la categoría de espacios algebraicos (sobre un campo, si quieres, o incluso sobre ℂ si realmente quieres). ¿Es G necesariamente un esquema?

Mi opinión es que la respuesta es "sí" porque un grupo de espacios algebraicos que no sea un esquema sería demasiado impresionante. Cualquier homomorfismo de grupo de tal G a un grupo algebraico (un grupo de esquema) tendría que tener un núcleo infinito ya que un espacio algebraico cuasi finito sobre un esquema es a su vez un esquema . En particular, G no tendría representaciones fieles o acciones fieles en variedades proyectivas (probablemente) . No puede haber un homomorfismo de grupo suryente de un grupo algebraico H a G, ya que eso identificaría a G con H/K, que es un esquema . En particular, no se puede poner una estructura de grupo en cualquier cubierta etérea de G.

Answer 1

La respuesta es sí. Todo espacio algebraico $X$ tiene un subespacio abierto (no vacío) $U$ tal que i) $U$ es un esquema, y ii) un punto $p \rightarrow X$ está en $U$ si y sólo si ese punto es de tipo esquema. Un punto de tipo esquema es aquel en el que existe un esquema afín $V$ y una inmersión abierta $V \rightarrow X$ factorizando el punto. Además, $X$ es un esquema si y sólo si todos sus puntos son de tipo esquema. Ahora bien, si $X$ es un espacio algebraico de grupo, la acción del grupo es transitiva sobre los puntos. Usando esto, no puede haber puntos no esquemáticos y por lo tanto $X$ es un esquema.

Answer 2

En el artículo de Raynaud "Specialisation du foncteur de Picard", el teorema 3.3.1 dice que los espacios algebraicos de grupo, que son localmente de tipo finito y están separados sobre cualquier esquema normal localmente noetheriano de 1-dim, son esquemas de grupo.

Por otro lado, los funtores de Picard relativos para los esquemas de presentación finita plana adecuados $f:X\rightarrow S$ sobre DVR tal que $f$ es cohomológicamente plana están representadas por zafios algebraicos, pero a menudo no son esquemas, véase también ese trabajo o el libro Neron Model.