¿Es un grupo de espacios algebraicos siempre un esquema?

Question

Supongamos que G es un objeto de grupo en la categoría de espacios algebraicos (sobre un campo, si quieres, o incluso sobre ℂ si realmente quieres). ¿Es G necesariamente un esquema?

Mi opinión es que la respuesta es "sí" porque un grupo de espacios algebraicos que no sea un esquema sería demasiado impresionante. Cualquier homomorfismo de grupo de tal G a un grupo algebraico (un grupo de esquema) tendría que tener un núcleo infinito ya que un espacio algebraico cuasi finito sobre un esquema es a su vez un esquema . En particular, G no tendría representaciones fieles o acciones fieles en variedades proyectivas (probablemente) . No puede haber un homomorfismo de grupo suryente de un grupo algebraico H a G, ya que eso identificaría a G con H/K, que es un esquema . En particular, no se puede poner una estructura de grupo en cualquier cubierta etérea de G.

Answer 1

Permítanme decir primero que no soy un geómetra algebraico. Sin embargo, al tratar de entender las respuestas a esta misma pregunta Pregunté lo siguiente pregunta . Después de escuchar las respuestas subsiguientes, parece que la respuesta a tu pregunta depende de si consideras que un espacio algebraico está cuasi separado o no. La definición estándar, según me han dicho, es que se requiere que un espacio algebraico sea cuasi-separado. En este caso la respuesta a tu pregunta es sí, como muestran las respuestas aquí. Sin embargo, si los espacios algebraicos no son necesariamente cuasi-separados, entonces los teoremas citados aquí fallan, y parece que la respuesta es no. El ejemplo de este pregunta aparece para dar un contraejemplo.

Answer 2

Creo que la respuesta es sí. Si S es un esquema noetheriano y G es un espacio de grupo algebraico relativo sobre S, entonces existe una estratificación de S tal que sobre cada estrato, G es un esquema de grupo (véase K. Behrend, Derived \ell -categorías ádicas para pilas algebraicas, 5.1.1). Cuando S es Spec k no hay estratificación no trivial.

Answer 3

Sobre un campo, la referencia es efectivamente "Algebraización de los módulos formales, I".

Sobre una base más general que un campo, la respuesta puede ser no. Por ejemplo, Artin demostró en "Algebraization of formal moduli, I" que bajo algunas condiciones naturales el functor de Picard es representable por un espacio algebraico (es un espacio algebraico de grupo, por supuesto). Hay varias condiciones suficientes para que sea un esquema, debidas a Artin y Mumford. Encontrarás una discusión, si no la prueba, de ellas en "Neron models" de Bosch-Lutkebohmert-Raynaud. Pero en el caso general no se conoce, creo.

Por otra parte, los espacios algebraicos abelianos sobre un esquema S (es decir, lisos propios con fibras geométricas irreducibles) son un esquema abeliano sobre S. Véase la página 3 de "Degeneraciones de variedades abelianas" de Faltings-Chai, donde esto se atribuye a Raynaud y Deligne.

Answer 4

Wikipedia dice "Los objetos de grupo en la categoría de espacios algebraicos sobre un campo son esquemas". No hay cita, pero en un artículo de arXiv, arXiv:0907.3880, se cita la afirmación al artículo original de Artin, "Algebraization of formal moduli".

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Mirando las otras respuestas proporcionadas, deduzco que la pregunta es análoga a preguntar: "¿Es un objeto de grupo en la categoría de orbifolds un grupo de Lie?" Sí, porque no puede tener una estratificación. Aparentemente es similar pero más abstracto en el entorno de los apilamientos (digamos). La otra pregunta de Anton sobre un espacio coset $G/H$ es presumiblemente un fenómeno similar. Pero supongo que un espacio de doble coset $H\backslash G/K$ puede ser una pila, ya que en el entorno del grupo de Lie puede ser un orbifold.

Answer 5

Sobre una base general la respuesta es no, como me señaló Matthieu Romagny en respuesta a este pregunta. Da una referencia al Lemma X.14 del libro de Raynaud "Ample bundles on group schemes and homogeneous spaces".

Se da un ejemplo en el que $N$ y $G$ son esquemas de grupos afines suaves sobre la base $S = \mathbb{A}^2_k$ con $N$ , que es étala sobre $S$ un subgrupo normal cerrado de $G$ . Se demuestra que el cociente $G/N$ no es un esquema. Pero ciertamente es un espacio algebraico, ya que el mapa cociente $G \to G/N$ es un atlas de étale para $G/N$ . Además, $G/N$ se separa a la vez (como $N$ está cerrado en $G$ ) y suave (ya que $G$ es suave).