Este es un ejercicio en un libro de geometría diferencial que estoy estudiando, y actualmente no puedo entender por qué está ahí (y no me parece nada intuitivo por qué sería cierto). Un contraejemplo sencillo serían las curvas $\alpha(t) = (t, t^3,t^5)$ y $\beta(s) = (s,s,s)$ . Una cita del ejercicio es la siguiente: "Demostrar que, si dos curvas son simétricas respecto al origen, entonces tienen la misma curvatura y la torsión sólo difiere hasta un signo". ¿Qué ocurre aquí? ¿He interpretado algo completamente mal?
Respuesta
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Se puede interpretar la declaración como:
Si $\alpha\colon I \to \Bbb R^3$ es una curva regular y $\beta :I \to \Bbb R^3$ se define por $\beta(t) \doteq -\alpha(t)$ entonces $\kappa_\beta = \kappa_\alpha$ y $|\tau_\beta| = |\tau_\alpha|$ .
Se puede suponer que ambos tienen velocidad unitaria. Entonces $T_\beta = -T_\alpha$ Por lo tanto $\kappa_\beta N_\beta = -\kappa_\alpha T_\alpha$ De ahí que $\kappa_\beta = \kappa_\alpha$ y así $N_\beta = -N_\alpha$ . Entonces $B_\beta = -B_\alpha$ y de ahí se deduce (diferenciando) que $|\tau_\beta| = |\tau_\alpha|$ .
