¿Cuál es la opinión general sobre la Hipótesis del Continuo Generalizado?

Question

Estoy haciendo un wiki comunitario de esto, ya que aunque no quiero que sea un hilo de discusión, no creo que haya realmente una respuesta correcta a esto.

Por lo que he visto, los teóricos de los modelos y los lógicos se oponen mayoritariamente al GCH, mientras que en el otro extremo del espectro, algunos análisis funcionales dependen del GCH, por lo que es mucho más tolerado entre los analistas funcionales. De hecho, durante un tiempo me consideré muy +GCH, pero Joel y Francois señalaron algunas cosas interesantes sobre los axiomas de forzamiento, (los más poderosos contradicen directamente la CH).

¿Cuál es la opinión general sobre el CHG en la comunidad matemática (sustituya CHG por CH cuando sea necesario)? ¿Sucede que la CH/GCH no suele aparecer en el álgebra?

Por favor, no publiques sólo "estoy de acuerdo con +-CH". Me gustaría que valoraras la opinión de la comunidad matemática. Tal vez tus experiencias con matemáticos que conoces, etc. Incluso tus propias experiencias u opinión pueden servir. Simplemente no me interesa tener 30 o 40 respuestas de una línea. Esencialmente, no estoy buscando una encuesta.

Edición: GCH=Hipótesis de continuidad generalizada CH= Hipótesis de continuidad

CH dice que $\aleph_1=\mathfrak{c}$ . Es decir, el cardenal sucesor de $\aleph_0$ es el continuo. La forma generalizada (GCH) dice que para cualquier cardinal infinito $\kappa$ tenemos $\kappa^+=2^\kappa$ es decir, no hay cardenales estrictamente entre $\kappa$ y $2^\kappa$ .

Edición 2 (Harry): Cambiada la redacción sobre FA. Si todavía no es cierto, y puedes mejorarlo, no dudes en editar tú mismo el post y cambiarlo.

Answer 1

Mi impresión es que la mayoría de los matemáticos de hoy en día que trabajan fuera de la lógica matemática estarían de acuerdo con la siguiente afirmación: ``Si es posible, uno debería intentar demostrar teoremas dentro de ZFC, o al menos dentro de ZFC más algunos axiomas cardinales grandes suaves (por ejemplo, la existencia de cardinales inaccesibles)''.

Creo que esto es cierto incluso en la teoría de modelos, y admito que yo mismo tengo este sesgo, en parte porque generalmente quiero demostrar las cosas utilizando el menor número de hipótesis posible, y en parte simplemente porque ZFC es el sistema al que estoy más acostumbrado. (Digo esto como alguien que demostró un resultado usando el Axioma de Martin en mi tesis, y luego se alegró mucho cuando encontró una prueba ZFC).

Para dar un ejemplo de esta actitud, en los años 70 la teoría pura de modelos parecía volverse más ''teórica de conjuntos'', con afirmaciones naturales como Conjetura de Chang que se ha demostrado que es independiente de la ZFC. He oído que algunos teóricos del modelo estaban agradecidos a Shelah por demostrar (en su libro de 1978 Teoría de la clasificación ) que, de hecho, seguían existiendo resultados teóricos de modelos profundos que podían obtenerse sólo en ZFC. La estrategia consistía en definir clases de teorías bien comportadas (por ejemplo, las teorías superestables) en las que se podía demostrar dentro de ZFC que la categoría de modelos es ''agradable'', y luego mostrar (de nuevo en ZFC) que los modelos de cualquier teoría no que satisfagan estas propiedades de doma son ''tan salvajes como sea posible''.

Answer 2

Soy formalista. Y desde un punto de vista formal, GCH es independiente de ZF(C), nada más. Para mí, los conjuntos no son realmente "existentes" (¿has visto alguna vez un ordinal infinito volando por alguna parte? bueno, yo no.) - pero asumir GCH podría facilitar las matemáticas - y eso es lo que me importa. Sin GCH, debe haber al menos un conjunto (y por tanto infinitos conjuntos) con una cardinalidad indecidible.

Por otro lado, con GCH, si puedes probar $|A| > \aleph_i$ y $|A| \le \aleph_{i+1}$ entonces ya has terminado de demostrar $|A| = \aleph_{i+1}$ .