¿Cuál es la opinión general sobre la Hipótesis del Continuo Generalizado?

Question

Estoy haciendo un wiki comunitario de esto, ya que aunque no quiero que sea un hilo de discusión, no creo que haya realmente una respuesta correcta a esto.

Por lo que he visto, los teóricos de los modelos y los lógicos se oponen mayoritariamente al GCH, mientras que en el otro extremo del espectro, algunos análisis funcionales dependen del GCH, por lo que es mucho más tolerado entre los analistas funcionales. De hecho, durante un tiempo me consideré muy +GCH, pero Joel y Francois señalaron algunas cosas interesantes sobre los axiomas de forzamiento, (los más poderosos contradicen directamente la CH).

¿Cuál es la opinión general sobre el CHG en la comunidad matemática (sustituya CHG por CH cuando sea necesario)? ¿Sucede que la CH/GCH no suele aparecer en el álgebra?

Por favor, no publiques sólo "estoy de acuerdo con +-CH". Me gustaría que valoraras la opinión de la comunidad matemática. Tal vez tus experiencias con matemáticos que conoces, etc. Incluso tus propias experiencias u opinión pueden servir. Simplemente no me interesa tener 30 o 40 respuestas de una línea. Esencialmente, no estoy buscando una encuesta.

Edición: GCH=Hipótesis de continuidad generalizada CH= Hipótesis de continuidad

CH dice que $\aleph_1=\mathfrak{c}$ . Es decir, el cardenal sucesor de $\aleph_0$ es el continuo. La forma generalizada (GCH) dice que para cualquier cardinal infinito $\kappa$ tenemos $\kappa^+=2^\kappa$ es decir, no hay cardenales estrictamente entre $\kappa$ y $2^\kappa$ .

Edición 2 (Harry): Cambiada la redacción sobre FA. Si todavía no es cierto, y puedes mejorarlo, no dudes en editar tú mismo el post y cambiarlo.

Answer 1

Definitivamente hay una tendencia no-CH entre los teóricos del conjunto con una fuerte inclinación platonista, y mi impresión es que este es el punto de vista más común. Muchos de estos teóricos de conjuntos creen que la gran jerarquía cardinal y las consecuencias de uniformización que la acompañan nos dirigen hacia la verdadera teoría de conjuntos final, y que los diversos axiomas de forzamiento, como PFA, MM, etc., forman parte de ella.

Otro gran grupo de teóricos de conjuntos que trabajan en el área de la teoría de modelos internos tienen GCH en todos los modelos más importantes que estudian, y consideran la GCH como una de las características de regularidad atractivas de esos modelos internos.

Hay un grupo mucho más pequeño de teóricos de conjuntos (entre los que me cuento) con una perspectiva de multiversos, que consideran que la teoría de conjuntos consiste realmente en estudiar todos los universos posibles en los que podríamos vivir, y estudiar sus interrelaciones. Para este grupo, la cuestión del CH está en gran medida resuelta por el hecho de que entendemos de manera muy profunda cómo pasar de los universos CH a los universos no CH y viceversa, por el método del forzamiento. Cada uno de ellos es denso en cierto sentido en la colección de todos los universos de la teoría de conjuntos.

Answer 2

He aquí una especie de respuesta histórica. Estoy viendo una copia de un cuestionario duplicado en espíritu, fechado el 1 de agosto de 1967, que se distribuyó en el Instituto de Verano de la AMS-ASL de 1967 sobre Teoría Axiomática de Conjuntos. La anotación "80 votos emitidos" está escrita a lápiz, de forma bastante descuidada. El recuento de votos para cada respuesta está escrito por alguien con una caligrafía muy clara. A partir de los números, deduzco que el CI sólo fue contestado por aquellos que respondieron "sin sentido" al AI.

Sería interesante saber si esta encuesta se ha publicado en algún sitio.

Instituto de verano AMS-ASL
en
Teoría axiomática de conjuntos

BOLETA OFICIAL

[anotado con lápiz: "80 votos emitidos"]

I. A. Creo que la proposición

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ $ 'El axioma MC de cardinales medibles es verdadero en el universo real de conjuntos'

es

$\quad$ ( 38 ) significativo $\quad$ ( 38 ) sin sentido

$\ \ \ \ $ B. (Se debe responder sólo si su respuesta a A es "significativa")

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ $ (8) Creo que el MC es casi seguro.
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ $ (7) Creo que es más probable que MC sea cierto que falso
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ $ (7) Creo que es más probable que MC sea falso que verdadero
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ $ (2) Creo que MC es casi seguramente falso
$\ \ \ \ \ \ \ $ (14) No tengo ni idea de si MC es verdadero o falso

$\ \ \ \ $ C. En cuanto a la predicción de que el MC será refutado algún día en ZF,

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ $ (0) Creo que esta predicción es casi seguramente cierta
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ $ (2) Creo que esta predicción es más probable que sea cierta que falsa
$\ \ \ \ \ \ \ $ (16) Creo que es más probable que esta predicción sea falsa que verdadera
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ $ (8) Creo que esta predicción es casi seguramente falsa
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ $ (4) No tengo ni idea de si esta predicción es cierta o falsa

II. A. Creo que la proposición

'La hipótesis del continuo CH es verdadera en el universo real de los conjuntos'

es

$\quad$ ( 42 ) significativo $\quad$ ( 35 ) sin sentido

$\ \ $ B. (Se debe responder sólo si su respuesta a IIA es "significativa")

$\ \ \ \ \ \ $ ( 2 ) Creo que la CH es casi seguramente cierta
$\ \ \ \ \ \ $ ( 2 ) Creo que es más probable que la CH sea cierta que falsa
$\ \ \ \ $ ( 12 ) Creo que es más probable que la CH sea falsa que verdadera
$\ \ \ \ $ ( 14 ) Creo que la CH es casi seguramente falsa
$\ \ \ \ $ ( 12 ) No tengo ni idea de si la CH es verdadera o falsa.

$\ \ $ B'. (Se debe responder sólo si su respuesta a IIA es "sin sentido")

$\ \ \ \ $ (1) Mi posición sobre el AII

$\quad\quad$ ( 2 ) hace $\quad$ ( 33 ) no

$\ \ \ \ \ \ $ me hace dudar del valor de la teoría de conjuntos.

$\ \ \ \ $ (2) Me inclino a pensar que la teoría de conjuntos basada en el continuo
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ $ hipótesis está destinada a jugar en el desarrollo futuro a largo plazo-
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ $ n de las matemáticas a

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ $ ( 11 ) un papel más importante que
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ $ ( 13 ) papel de igual importancia con
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ $ ( 11 ) un papel menos importante que

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ $ teoría de conjuntos basada en la negación de la hipótesis del continuo.

$\ \ $ C. Asumiendo que los matemáticos humanos todavía existen entonces, creo que
$\ \ \ \ \ \ \ $ en 2067 la opinión predominante entre ellos será que el continuo
$\ \ \ \ \ \ \ $ problema:

$\ \ \ \ $ ( 4 ) ha sido resuelta por el descubrimiento de nuevos
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ $ axiomas o métodos de prueba de los cuales la hipótesis del continuo es
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ $ una consecuencia
$\ \ $ ( 18 ) ha sido resuelta por el descubrimiento de nuevos
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ $ axiomas o métodos de prueba de los cuales la negación del continuo
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ $ La hipótesis es una consecuencia
$\ \ $ ( 37 ) se ha resuelto con la aceptación general de la creencia de que
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ $ no existe una teoría de conjuntos verdadera y que la hipótesis del continuo
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ $ simplemente se mantiene en algunas teorías y falla en otras
$\ \ $ ( 11 ) está todavía sin resolver

III. A. Creo que hay un sentido absoluto en el que cada frase de
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ $ teoría numérica de primer orden basada en la suma, la multiplicación y la
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ $ La exponenciación es verdadera o falsa.

$\quad$ ( 54 ) sí $\quad$ ( 26 ) no

$\ \ \ \ $ B. Creo que hay un sentido absoluto en el que cada $\underline{\text{universal}}$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ $ sentencia de la teoría de números de primer orden basada en la suma, la multiplicación,
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ $ y la exponenciación es verdadera o falsa.

$\quad$ ( 62 ) sí $\quad$ ( 18 ) no

Por favor, no firme su papeleta.

1 de agosto de 1967
Universidad de California, Los Ángeles

Answer 3

Después de oscilar furiosamente en los años sesenta y setenta, el medidor de continuidad de Berkeley se asentó en $2^{\aleph_0} = \aleph_2$ durante gran parte de los años ochenta y noventa, con descensos ocasionales a $2^{\aleph_0} = \aleph_1$ . Estas caídas empezaron a ser más fuertes en la última década, empiezo a sospechar de una Crisis de Encogimiento Cardinal.... ¡¡¡Que alguien llame a Al Gore!!!

Answer 4

Entre el grupo de matemáticos que mejor conozco, los teóricos de las categorías, una actitud común es la siguiente. (G)CH no es ni verdadero ni falso. Es algo que un modelo de (cualquier colección de) axiomas para la teoría de conjuntos podría satisfacer o no --- y eso es todo. Así que estar "a favor" o "en contra" no tiene sentido. Si hubiera un modelo de la teoría de conjuntos dado por Dios, entonces podríamos preguntar si (G)CH es verdadera en él, pero no lo hay.

(Probablemente estoy proyectando aquí, pero incluso si esta no es una opinión mayoritaria entre los teóricos de la categoría, estoy bastante seguro de que es una opinión común).

No conozco ningún trabajo en teoría de categorías que dependa de (digamos) un topos que satisfaga o viole (G)CH. Sin embargo, mi ignorancia no significa mucho.

Answer 5

Creo que hay que señalar que, mientras que muchas personas que trabajan en la teoría de conjuntos tienen una fuerte opinión sobre la CH (y muchos sienten que es "falsa"), en general no tienen fuertes sentimientos contra la GCH por encima de $\aleph_0$ . Es decir, GCH no es una afirmación tan controvertida, salvo que implica CH.