¿Cómo modelar la superficie y el volumen con polinomios?

Question

La pregunta es Un trozo de cartón rectangular es 15 pulgadas más largo que ancho. Si se cortan esquinas cuadradas de 5 pulgadas de cada esquina y se dobla el trozo restante para formar una caja, el volumen de la caja es de 1250 pulgadas cúbicas.

1. Encuentra las dimensiones del trozo de cartón
2. Escribe un polinomio que dé la superficie de la caja abierta después de cortar las esquinas.
3. utilizando las dimensiones de la parte a, ¿cuál es la superficie de la caja abierta?

En primer lugar, cómo he intentado resolver esto es haciendo lo siguiente $$ V= L.W.H$$ $$ 1250 = (15-10)(w-10)(5) $$ ¿Estoy haciendo esto bien? $$ 1250 = (15w^2 - 150w - 10w + 100) (5)$$ $$ 1250 = (15w^2 - 160w + 100) (5)$$ $$ 1250 = (75w^2 - 800W + 500) $$ $$ 1250 - 500 = 75w^2 - 800W$$ $$ 750 = 75w^2 - 800W$$ Aquí es donde empecé a tener problemas, si yo fuera a dividir 800 y luego dividir la respuesta que obtuve y la raíz cuadrada que habría obtenido un número no es correcta a la respuesta. ¿Puede alguien ayudarme a resolver esto? ¿Cómo puedo encontrar las dimensiones de la pieza de cartón? Para el número 2 no sé cómo escribir el polinomio que da la superficie y como no he podido hacer ninguno de los 2 tampoco puedo hacer el número 3. ¿Alguien puede explicarme cómo responder a este problema? Tengo un examen mañana y ahora mismo tengo muy malas notas.

Answer 1

Parece que tienes un error al principio. Parece que dejas que W sea el lado corto, pero entonces el lado largo es 15+W porque dice que el lado largo es 15 pulgadas más largo, así que en lugar de 15-10 (o 15w-10 como en la imagen que escribiste) escribirías (15+W-10) y tu polinomio sería correcto. Deberías entonces obtener un cuadrático por lo que deberías usar la ecuación cuadrática. Así que obtendrías

$1250 = (w+15-10)(w-10)(5)$

[dividiendo por 5]

$250 = (w+5)(w-10)$

$250 = w^2-10w+5w-50$

$250 = w^2 - 5w -50$

$w^2-5w-300 = 0$

entonces se puede factorizar esto como $(w-20)(w+15)$ por lo que w = 20 o -15, pero no se puede tener una anchura negativa por lo que la respuesta es w = 20. También podrías haber hecho la ecuación cuadrática en este punto. Aparte de ese error, has estado cerca.

En cuanto a la superficie, divide la caja en la base de la caja y los 4 lados. Sabes que la base de la caja tiene una anchura $(w+5)(w-10)$ (¿ves eso de ahí arriba la primera línea?). Entonces para el lado corto sabes que un lado es de 5 pulgadas y el otro es (w-10) así que obtienes $5(w-10)$ para ese lado, y de forma similar tienes $5(w+5)$ para el lado más largo. Así que su polinomio será $(w+5)(w-10) + 2(5)(w-10) + 2(5)(w+5)$ Observa que esos lados aparecen dos veces en tu caja (están enfrentados). Entonces puedes introducir w = 20 en este polinomio para encontrar la superficie de esta caja.