Estaba intentando evaluar una serie $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \ln\left(1+\frac{1}{n}\right)$$
Desde $$\frac{1}{n}\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)=\int_0^1 \frac{1}{n(n+t)}dt,$$
Lo reescribí como $$\sum_{n=1}^\infty \int_0^1 \frac{1}{n(n+t)} \; dt$$
y se ha cambiado la suma y la integral:
$$\int_0^1 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+t)}dt$$
La suma está relacionada con el digamma. Específicamente,
$$\frac{\gamma-\psi(t+1)}{t}=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+t)}$$
Ahora, la integración de este es el problema:
$$\int_0^1 \frac{\gamma+\psi(t+1)}{t} \; dt=1.257746887\ldots$$
Que $t$ en el denominador provoca un ajuste. He intentado la integración por partes, sin éxito.
Lo pasé por Maple y me dio $$1.257746887\ldots$$ que es efectivamente a lo que converge la suma.
¿Alguien sabe si se puede evaluar la integral de digamma anterior? ¿Quizás una aproximación numérica es lo mejor que podemos hacer? Después de todo, Maple no me daría una forma cerrada; sólo la solución decimal. ¿Se puede relacionar con zeta o alguna otra función avanzada de alguna manera?
Muchas gracias por cualquier aportación.
