Referencia para un ejercicio de grupos libres

Question

Es un ejercicio sencillo demostrar que si $F$ es el grupo libre sobre dos letras $\{x,y\}$ entonces el subgrupo $$H = \{w \in F \mid \text{sum of all }y\text{ exponents in } w = 0 \} = \text{ normal closure of }\langle x\rangle$$ es libre con la base infinita $\{y^ixy^{-i}\mid i \in \mathbb{Z}\}$ . ¿Existe algún libro clásico/bien conocido que plantee esto (o una afirmación equivalente) como un ejercicio o una proposición? He intentado buscarlo en Magnus-Karrass-Solitar pero no he encontrado nada parecido hasta ahora...

Answer 1

Se puede hacer esto utilizando la teoría del espacio de cobertura de la siguiente manera. $F_2$ es el grupo fundamental de la cuña de dos círculos $X = S^1 \vee S^1$ ; cubriendo los espacios de $X$ corresponden a subgrupos de $F$ como siempre. El subgrupo $H$ aquí corresponde a la siguiente portada $Y$ Si pensamos en la primera copia de $S^1$ como correspondiente a $x$ y la segunda copia como correspondiente a $y$ imagínate "desenrollar" la segunda copia de $S^1$ en $\mathbb{R}$ y luego se calza con una copia de $S^1$ en cada uno de los puntos enteros $\mathbb{Z} \subset \mathbb{R}$ . El mapa de cobertura $Y \to X$ se da al "enrollar" $\mathbb{R}$ de nuevo en $S^1$ . Esto sería mucho más fácil de explicar con un diagrama, que tal vez me ponga a dibujar más adelante.

El grupo fundamental de cualquier grafo es libre en los bucles en biyección con el conjunto de aristas no contenidas en ningún árbol de expansión, y $Y$ tiene un árbol de expansión obvio dado por la copia de $\mathbb{R}$ en él. Hay una arista que no está en este árbol de expansión por cada punto de $\mathbb{Z} \subset \mathbb{R}$ y los bucles correspondientes en $\pi_1(Y)$ están dadas por ir desde el origen $0 \in \mathbb{R}$ a algún punto entero $i \in \mathbb{Z}$ y, a continuación, siguiendo el bucle en la copia correspondiente de $S^1$ y luego volviendo al origen; esto mapea precisamente a $y^i x y^{-i}$ como se desee.

Editar: Aquí hay una foto de $Y$ y $X$ con los bordes coloreados para indicar el mapa de cobertura. El rojo es $x$ y el azul es $y$ .