¿Por qué se compone un primer mínimo ideal zerodivisors?

Question

Deje que $A$ ser un anillo conmutativo. Supongamos que $P \subconjunto$ es de un mínimo de prime ideal. Entonces es un teorema que $P$ consta de cero-divisores.

Esto puede ser demostrado mediante la localización, cuando $A$ es noetherian: $A_P$ es local artinian, por lo que cada elemento de $PA_P$ es nilpotent. Por lo tanto, cada elemento de $P$ es un cero divisor. (Como Matt E ha observado, cuando $A$ es nonnoetherian, uno puede todavía utilizar un argumento similar: $PA_P$ es el único prime en $A_P$, por lo tanto es el radical de $A_P$ elemental de álgebra conmutativa.)

Este puede ser probado sin el uso de la localización?

Answer 1

Denotar el conjunto de complementos en $\rm $ $\rm\,\bar T = a - T.\, $ Considerar la monoid $\rm\,S\,$ generada por $\rm\,\bar P\,$ y $\rm\,\barra Z,\ $ $\rm\,Z = $ todos de cero divisores en $\rm $ (incluyendo $0).\,$ Nota $\rm\,0\, no\S\ $ (más de $\rm\, 0 = a\,b,$ $\rm\ a\in \bar P,$ $\rm\ b\in \barra Z\ $ $\rm \Rightarrow b\Z)$ así que podemos agrandar $\,0\,$ a un ideal de $\rm\,Q\,$ máximo disjunta de $\rm\,S.a.\, $ Desde $\rm\,S\,$ es un monoid, $\rm\,Q\,$ es primo. $\rm\, S\,\supset\, \bar P \cup \barra Z\ \Rightarrow\ Q \subconjunto \bar S \subconjunto P\cap Z,\, $ por minimality de $\rm\,P\,$ deducimos $\rm\, P = Q \subconjunto de Z.\quad$ QED

Answer 2

Este es un comentario sobre la prueba de dibujo en la pregunta (no tengo suficiente rep. para realmente dejar comentarios): la localización de $A_P$ es local de dimensión cero (su único ideal maximal es también un mínimo de primer ideal, y por lo tanto es el único primer ideal de $A_P$), pero no necesita ser Artinian, como lo que puedo decir. E. g. si $a =\mathbb C[[x^{1/2},x^{1/3},\dots]]/(x)$, entonces $A$ es local con un único primer ideal (es decir, el ideal generado por todas las $x^{1/n}$), pero no es Artinian (lo que es equivalente, no Noetherian), ya que si $(a_i)$ es cualquier estrictamente descendente de la secuencia de los números racionales en el intervalo $(0,1)$, a continuación, los ideales de $x^{a_i}$ De forma estrictamente descendente de la secuencia de los ideales de $A$.

(Esperemos que no estoy cometer un error aquí; si lo estoy, por favor alguien que me haga saber!)

(También, debo añadir que no es todavía el caso de que, desde $PA_P$ es el único con un mínimo de el primer de $A_P$, cada elemento de $PA_P$ es nilpotent, y por lo tanto, cada elemento de $P$ es un divisor de cero, por lo que mi comentario es muy nitpicky: es sólo acerca de la utilización de la terminología Artinian.)

Answer 3

En los primeros días de álgebra conmutativa la gente no usa el lenguaje de localización, por lo que probablemente esa prueba existe. En particular, me han dicho Kaplansky temprana de libro (alrededor de 1950?) podría ser de referencia, pero no lo tengo ahora mismo.

En cualquier caso, el Ejercicio 2.3 de Eisenbud le dice a usted cómo engañar y localizar sin decirlo. Yo podría estar equivocado, pero lo que quiero demostrar es acerca de algunos multiplicativo de propiedades de los elementos en $R$, así que tal vez alguna prueba de que usted puede encontrar es sólo la localización en el disfraz.