Se me presenta la pregunta:
Demuestre que los vectores dados son linealmente independientes en $\mathcal{C}[0,1]$ :
$x^{3/2}, x^{5/2}$
Me cuesta mucho entender el álgebra lineal en general. Creo que parte de mi problema con esta pregunta es entender lo que el $\mathcal{C}[0,1]$ significa notación. Más allá de eso, todavía no estoy exactamente seguro de cómo mostrar esto. Cualquier ayuda será muy apreciada.
$C[0,1]$ es el espacio vectorial de las funciones continuas de $[0,1]$ en $\mathbb{R}$ . Puedes sumar funciones, restarlas, hay una función cero, multiplicar por elementos en $\mathbb{R}$ etc. Por tanto, tiene sentido preguntarse por los elementos linealmente independientes de este espacio vectorial. Tomemos los elementos $x^{3/2}$ y $x^{5/2}$ . Queremos demostrar que son linealmente independientes, de modo que uno no es el múltiplo de otro por un elemento en $\mathbb{R}$ . ¿Puede mostrar esto?
$\mathcal{C}[0,1]$ es el conjunto de funciones continuas del intervalo $[0,1]$ a $\mathbb R$ . Así que se le pide que demuestre que las funciones $f$ y $g$ en $[0,1]$ definido por $f(x) = x^{3/2}$ y $g(x) = x^{5/2}$ son linealmente independientes.
Para demostrarlo, supongamos que $\lambda, \mu \in {\mathbb R}$ satisfacer $\lambda f + \mu g = 0$ es decir, para todos los $x \in [0,1]$ , $\lambda x^{3/2} + \mu x^{5/2} = 0$ . Ahora introduzca algunos valores para $x$ y derivar que $\lambda = \mu = 0$ .
$C[0,1]$ suele denotar la colección de funciones continuas $f: [0,1]\to \mathbb{R}$ . Se trata de un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ con la multiplicación definida puntualmente: $(af)(x) = af(x)$ .
¿Qué significaría que dos funciones, $f,g\in C[0,1]$ fueron lineales dependiente ? Significaría que hay dos escalares, $a,b\in\mathbb{R}$ , ambos no nulos, tal que $af + bg = 0$ como funciones. En otras palabras, para todos los $x$ , $af(x) + bg(x) = 0$ .
Para demostrar que $f=x^{3/2}$ y $g=x^{5/2}$ son linealmente independientes, supongamos que tales $a$ y $b$ existen, e intentan demostrar que ambos son cero.. Si tal $a,b\in\mathbb{R}$ existe, entonces $ax^{3/2} + bx^{5/2} = 0$ para todos $x$ . Probemos a enchufar $x=1$ -obtenemos $a+b=0$ . Enchufar $x=1/4$ obtenemos $a/8 + b/32=0$ (nota: también se pueden introducir diferentes valores de $x$ Pero elegí estos para mantener las matemáticas lo más sencillas posible).
Ahora, podemos resolver las dos ecuaciones $a+b=0$ y $a/8+b/32=0$ , para conseguir $a=b=0$ . Ah, pero esto es exactamente lo que queríamos mostrar: $x^{3/2}$ y $x^{5/2}$ no puede tener una suma lineal que sea igual a cero a menos que sea la suma trivial, es decir $0\cdot f + 0\cdot g = 0$ .
Problemas relacionados: (I) , (II) .
Una pista: Puede utilizar el Wronskian .
$$ W(f_1, \ldots, f_n) (x)= \begin{vmatrix} f_1(x) & f_2(x) & \cdots & f_n(x) \\ f_1'(x) & f_2'(x) & \cdots & f_n' (x)\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_1^{(n-1)}(x)& f_2^{(n-1)}(x) & \cdots & f_n^{(n-1)}(x) \end{vmatrix},\qquad x\in I. $$
Para que las funciones sean linealmente independientes, entonces el Wronskian no es igual a cero.
Añadido:
En su caso, quiere demostrar
$$ W(x^{3/2}, x^{5/2}) (x)= \begin{vmatrix} x^{3/2} & x^{5/2} \\ \frac{3}{2}x^{1/2} & \frac{5}{2}x^{3/2} \end{vmatrix}$$
Ahora, tienes que calcular el determinante anterior y demostrar que no es igual a cero.
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