Soy el tipo de matemático que trabaja muy bien con elementos. Me gusta mucho la topología de conjuntos de puntos, y la teoría de categorías suele volverme loco. Cuando me dieron un montón de ejercicios sobre temas como límites, colímitos y funtores adjuntos, fui capaz de hacerlos, aunque estoy seguro de que mis demostraciones fueron mucho más largas y laboriosas de lo que deberían haber sido. Sin embargo, sentí que la mayor parte de la comprensión que obtuve de estos ejercicios se esfumó en una semana. Tengo un ejemplar de "Categories for the Working Mathematician" de MacLane, pero siempre que lo cojo, parece que nunca puedo pasar más de dos o tres páginas (excepto en la introducción sobre los fundamentos).
Hace un par de meses, estaba tratando de utilizar las afirmaciones encontradas en Hartshorne sobre los esquemas de encolado y los morfismos y me di cuenta de que estas afirmaciones eran inadecuadas para mis propósitos. Mirando más de cerca, me di cuenta de que las hipótesis de Hartshorne son "erróneas", más o menos del mismo modo que es "erróneo" exigir, en la definición de una base para una topología, que sea cerrada bajo intersecciones finitas. (Esto excluiría, por ejemplo, que el conjunto de bolas abiertas fuera una base para $\mathbb{R}^n$ .) Trabajando un poco más, me di cuenta de que la afirmación "correcta" se expresaba más fácilmente diciendo que un cierto tipo de diagrama en la categoría de esquemas tiene un colímite. En este punto, la noción de "colímite" empezó a parecer mucho más manejable: un colímite es una forma de pegar objetos (y morfismos).
Sin embargo, no se me ocurre ninguna intuición similar para la noción de "límite". Incluso en el caso de un producto de fibras, un límite puede ser cualquier cosa, desde una intersección hasta un producto, y me resulta intimidante intentar pensar en estas dos cosas tan diferentes como casos especiales de la misma construcción. Entiendo cómo demostrar que lo son; simplemente no tiene sentido intuitivo, de alguna manera.
Para otro ejemplo, creo (y corregidme si me equivoco) que la condición de la gavilla en un presheaf puede expresarse como que el functor contravariante lleva los colímites a los límites . [Esto no es correcto como se ha dicho. Véase la respuesta de Martin Brandenburg más abajo para explicar por qué no lo es, así como cuál es la afirmación correcta]. Parece que una afirmación tan sencilla debería aclararlo todo, pero me parece mucho más fácil entender la definición en términos de secciones locales compatibles que se pegan entre sí. Puedo (creo) demostrar que son lo mismo, pero para cuando llego a un extremo de la prueba, he perdido la pista del otro extremo intuitivamente.
Por lo tanto, mi pregunta es la siguiente: ¿Existe una intuición agradable, preferentemente geométrica, para la noción de límite? Si alguien puede recomendar un libro sobre teoría de categorías que crea que puede ser atractivo para alguien como yo, también lo agradecería.
