Intuición geométrica de los límites

Question

Soy el tipo de matemático que trabaja muy bien con elementos. Me gusta mucho la topología de conjuntos de puntos, y la teoría de categorías suele volverme loco. Cuando me dieron un montón de ejercicios sobre temas como límites, colímitos y funtores adjuntos, fui capaz de hacerlos, aunque estoy seguro de que mis demostraciones fueron mucho más largas y laboriosas de lo que deberían haber sido. Sin embargo, sentí que la mayor parte de la comprensión que obtuve de estos ejercicios se esfumó en una semana. Tengo un ejemplar de "Categories for the Working Mathematician" de MacLane, pero siempre que lo cojo, parece que nunca puedo pasar más de dos o tres páginas (excepto en la introducción sobre los fundamentos).

Hace un par de meses, estaba tratando de utilizar las afirmaciones encontradas en Hartshorne sobre los esquemas de encolado y los morfismos y me di cuenta de que estas afirmaciones eran inadecuadas para mis propósitos. Mirando más de cerca, me di cuenta de que las hipótesis de Hartshorne son "erróneas", más o menos del mismo modo que es "erróneo" exigir, en la definición de una base para una topología, que sea cerrada bajo intersecciones finitas. (Esto excluiría, por ejemplo, que el conjunto de bolas abiertas fuera una base para $\mathbb{R}^n$ .) Trabajando un poco más, me di cuenta de que la afirmación "correcta" se expresaba más fácilmente diciendo que un cierto tipo de diagrama en la categoría de esquemas tiene un colímite. En este punto, la noción de "colímite" empezó a parecer mucho más manejable: un colímite es una forma de pegar objetos (y morfismos).

Sin embargo, no se me ocurre ninguna intuición similar para la noción de "límite". Incluso en el caso de un producto de fibras, un límite puede ser cualquier cosa, desde una intersección hasta un producto, y me resulta intimidante intentar pensar en estas dos cosas tan diferentes como casos especiales de la misma construcción. Entiendo cómo demostrar que lo son; simplemente no tiene sentido intuitivo, de alguna manera.

Para otro ejemplo, creo (y corregidme si me equivoco) que la condición de la gavilla en un presheaf puede expresarse como que el functor contravariante lleva los colímites a los límites . [Esto no es correcto como se ha dicho. Véase la respuesta de Martin Brandenburg más abajo para explicar por qué no lo es, así como cuál es la afirmación correcta]. Parece que una afirmación tan sencilla debería aclararlo todo, pero me parece mucho más fácil entender la definición en términos de secciones locales compatibles que se pegan entre sí. Puedo (creo) demostrar que son lo mismo, pero para cuando llego a un extremo de la prueba, he perdido la pista del otro extremo intuitivamente.

Por lo tanto, mi pregunta es la siguiente: ¿Existe una intuición agradable, preferentemente geométrica, para la noción de límite? Si alguien puede recomendar un libro sobre teoría de categorías que crea que puede ser atractivo para alguien como yo, también lo agradecería.

Answer 1

Recojo sus observaciones sobre las gavillas. Efectivamente, la condición de gavilla es un muy buen ejemplo para hacerse una idea geométrica de un límite.

Supongamos que $X$ es un conjunto y $X_i$ son subconjuntos de $X$ cuya unión es $X$ . Entonces está claro cómo caracterizar las funciones sobre $X$ : Se trata simplemente de funciones sobre el $X_i$ que coinciden en los solapamientos $X_i \cap X_j$ . Esto se puede formular de una manera elegante: Sea $J$ sea la categoría cuyos objetos son los índices $i$ y los pares de tales índices $(i,j)$ . Debe ser un preorden y tenemos los morfismos $(i,j) \to i, (i,j) \to j$ . Considere el diagrama $J \to Set$ que viene dado por $i \mapsto X_i, (i,j) \mapsto X_i \cap X_j$ . Lo que hemos comentado anteriormente dice exactamente eso $X$ ¡es el colímite de este diagrama! De forma similar, las coberturas abiertas pueden entenderse como colímites en la categoría de espacios topológicos, espacios anillados o esquemas. Se trata de pegar morfismos.

¿Y qué hay de los límites? Creo que es importante entender primero los límites en la categoría de conjuntos. Si $F : J \to Set$ es un diagrama pequeño, entonces podemos considerar simplemente el conjunto de "elementos compatibles en la imagen" de $F$ , a saber

$X = \{x \in \prod_j F(j) : \forall i \to j : x_j = F(i \to j)(x_i)\}$ .

Una definición breve sería $X = Cone(*,F)$ . Obsérvese que tenemos proyecciones $X \to F(j), x \mapsto x_j$ y con estos $X$ es el límite de $F$ . Ahora el Lema de Yoneda o simplemente la definición de un límite te dice cómo puedes pensar en un límite en una categoría arbitraria: Que $X$ es un límite de un diagrama $F : J \to C$ equivale a decir que los elementos de $X$ erm no tenemos elementos, así que digamos morfismos $Y \to X$ corresponden naturalmente a morfismos elem... erales compatibles $Y \to F(i)$ . En otras palabras, para cada $Y$ , $X(Y)$ es el límite teórico del conjunto del diagrama $F(Y)$ . Espero que esto deje claro que el concepto de límites en categorías arbitrarias ya es visible en la categoría de conjuntos.

Ahora dejemos que $X$ sea un espacio topológico y $O(X)$ la categoría de subconjuntos abiertos de $X$ ; es un preorden con respecto a la inclusión. Por lo tanto, una preforma es sólo un functor $F$ de $O(X)^{op}$ a la categoría de conjuntos (o a la categoría que se quiera). Ahora las coberturas abiertas pueden describirse como ciertos límites en $O(X)^{op}$ es decir, los colímetros en $O(X)$ como en el caso anterior. Obsérvese que $F$ es una gavilla si y sólo si $F$ preserva estos límites: Si $U$ está cubierto por $U_i$ entonces $F(U)$ debe ser el límite de la $F(U_i), F(U_i \cap U_j)$ con mapas de transición $F(U_i) \to F(U_i \cap U_j), F(U_j) \to F(U_i \cap U_j)$ es decir $F(U)$ se compone de elementos compatibles del $F(U_i)$ lo que significa que los elementos de $F(U_i)$ y $F(U_j)$ restringen al mismo elemento en $F(U_i \cap U_j)$ . Así tenemos un ejemplo geométrico perfecto de límite: el conjunto de secciones sobre un conjunto abierto es el límite del conjunto de secciones sobre los subconjuntos abiertos de una cobertura.

De alguna manera, este punto de vista se traslada al caso general: Dejemos que $F : J \to Set$ sea un functor. Considérelo como un presheaf en $J^{op}$ y el mapa inducido por $i \to j$ en $J^{op}$ como restricción $F(j) \to F(i)$ . También llama a los elementos de $F(i)$ secciones sobre $i$ . Entonces el límite de $F$ consiste en secciones compatibles. Desde que aprendí geometría algebraica, casi siempre pienso en los límites de esta manera.

Por último, es importante recordar que el límite no es más que el concepto dual de colímite. Y a menudo el álgebra y la geometría aparecen dualmente a la vez, por ejemplo las secciones y los subconjuntos abiertos en las láminas. Si $(X_i,\mathcal{O}_{X_i})$ son espacios anillados y quieres encontrar el colímite, pues puedes adivinar que tienen hacer: Tomar el colímite de la $X_i$ y el límite de la $\mathcal{O}_{X_i}$ (con el tirón en el colímite).

"...la condición de la gavilla en una preseaf puede expresarse como que el functor contravariante lleva los colímites a los límites"

Esto no es correcto. La razón es que la categoría del índice puede ser bastante salvaje y los colimits en los preórdenes no se preocupan por eso. En detalle: Dejemos que $U : J \to O(X)^{op}$ sea un diagrama pequeño. Entonces el límite es sólo la unión $V$ de $U_j$ . Así, $F$ preserva este límite si las secciones en $V$ son secciones de la $U_j$ que son compatibles con respecto a los morfismos de restricción dados por $U$ . Si $J$ es discreto y $U$ asigna todo al mismo subconjunto abierto $V$ de $X$ entonces las secciones compatibles son $F(V)^J$ que es mayor que $F(V)$ .

"... Tengo un ejemplar de "Categories for the Working Mathematician" de MacLane, pero siempre que lo cojo, parece que nunca puedo pasar más de dos o tres páginas (excepto en la introducción sobre los fundamentos"

Creo que este libro sigue siendo una de las mejores introducciones a la teoría de las categorías. Puede ser difícil captar todos estos conceptos y ejemplos abstractos, pero se hace más fácil en cuanto se obtiene información de otras áreas en las que las ideas de la teoría de categorías son omnipresentes. Tu ejemplo sobre el pegado de morfismos lo ilustra muy bien.

Answer 2

La forma en que pienso en los límites y colímites es en términos de los ejemplos más elementales de cada uno: los (co)productos y los (co)igualadores. Dado que cualquier (co)límite puede construirse a partir de ellos, esto es técnicamente suficiente, y de todos modos creo que da una idea de lo que debería ser el objeto. (No estoy siendo muy exigente con los detalles aquí, ya que sólo estoy tratando de describir mi intuición. Siéntase libre de corregirme en los comentarios).

Los coproductos (finitos) de conjuntos y espacios son uniones disjuntas, de grupos son productos libres, de espacios vectoriales son sumas directas, etc. El hilo conductor es que un coproducto es el objeto que se obtiene (como tú dices) pegando los objetos con los que empiezas y (si es necesario) "cerrándolo" para que siga siendo un grupo/espacio vectorial/lo que sea. Esto se refleja en la propiedad universal: el coproducto de X e Y es el objeto con la propiedad de que los mapas que salen de él se parecen a los pares de mapas que salen de X y de Y.

Si f y g son mapas de conjuntos de A a B, entonces el coequipador es el cociente de B que se obtiene al hacer f(x) igual a g(x) para cada x en A. El coquímetro de un mapa de módulos R, por ejemplo, es el coequipador del mapa con el mapa cero. Así que los coequalizadores son, en general, lo que se obtiene tomando el objetivo del mapa y forzando a los dos mapas dados a ser iguales haciendo las identificaciones apropiadas, y si se rastrea la propiedad universal se puede ver que esto es lo que implica: los mapas fuera del coequalizador son lo mismo que los mapas h fuera de B para los que hf=hg.

El mismo tipo de lógica puede aplicarse a los productos y ecualizadores. Los productos son muy conocidos en las categorías que he mencionado, e incluso suelen llamarse "productos", así que no voy a insistir en este punto. Los ecualizadores son un poco menos conocidos. Si f y g son mapas de conjuntos de A a B, entonces el igualador de f y g es simplemente el conjunto de elementos x en A con la propiedad de que f(x) = g(x). Por ejemplo, el núcleo de un mapa de módulos R es el igualador del mapa con 0. En otras palabras, mientras que un coequalizador toma el objetivo y obliga a los mapas a ser iguales "después" de haberlos aplicado, un igualador toma el origen y obliga a los mapas a ser iguales desechando todo aquello en lo que no lo son. Esto se refleja una vez más en la propiedad universal: los mapas en el ecualizador son los mismos que los mapas h en A, de modo que fh=gh.

Un límite general es un ecualizador de productos, por lo que se puede utilizar esto para obtener alguna intuición de lo que parece: un límite de algún diagrama de conjuntos puede ser pensado como el subconjunto del producto de todos los conjuntos en el diagrama que consiste en elementos que son consistentes con las flechas en el diagrama, es decir, siempre que hay una flecha f entre A y B en el diagrama, la aplicación de f a la componente A de su elemento debe dar el componente B. (Observe que en mi descripción del ecualizador anterior, sólo tomé elementos de la fuente. Esto es porque especificar el elemento del objetivo es redundante, ya que está obligado a ser tanto f(x) como g(x)).

Un colímite general es un coigualador de coproductos, por lo que se toma (en el caso de los espacios, digamos) una unión disjunta de todos los espacios implicados, y luego se identifican a lo largo de los mapas en el diagrama, por lo que esta imagen de los límites es una especie de dual: se toma un producto en lugar de un coproducto, y se utiliza la otra forma de igualar los mapas, es decir, tomando subconjuntos en lugar de cocientes.

Answer 3

Ya que estás familiarizado con el ejemplo de la condición de gavilla, creo que una buena intuición de una sola línea es:

Un límite de un diagrama es un objeto de familias coincidentes en ese diagrama .

...se define igual que, en el caso de las (pre)láminas, se define una familia de secciones coincidentes en una cubierta. Un producto es entonces el caso en el que no hay ninguna condición de correspondencia que satisfacer. Una intersección (digamos de subobjetos $A,B \subseteq X$ ) es el caso en el que la condición de coincidencia obliga a que los tres elementos sean iguales (como elementos de $X$ ), por lo que un elemento del límite es un único elemento de $X$ que puede ser visto también como un elemento de $A$ y como $B$ .

(Esta respuesta es más o menos un sub-cuadro de la respuesta anterior de Martin B, pero creo que es una línea útil para extraer).

Answer 4

¿Se siente cómodo con los productos? Los productos no son más que límites de diagramas discretos: las únicas flechas son las de identidad. Cualquier límite pequeño tendrá una única flecha mónica hacia el producto de todos los objetos del diagrama sobre el que se está tomando un límite (¡compruébalo!). En la teoría de conjuntos, esto significa que todos los límites son subconjuntos especiales del producto, ese subconjunto que hace que todas las flechas que quieres conmuten entre sí. Intenta resolver esto en la categoría de grupos y en la categoría de espacios topológicos. El hecho de que las intersecciones sean un caso especial no es un gran problema: si $U \subset W$ y $V \subset W$ entonces $U \cap V$ es isomorfo a ese subconjunto de $U \times W$ compuesto únicamente por pares de la forma $(x,x)$ . Dibuja los diagramas apropiados para mostrar que esta es la imagen que sale de la persecución de flechas también.

Answer 5

Por supuesto, su solicitud de "intuición" puede ser sólo sobre la categoría basada en conjuntos donde los límites y colímites se basan en el análogo de conjuntos.

Sobre Colimit se puede pensar como una unión "amalgamada" como el pegado para un dato de descenso (ver también Boubaky- Topología (I vol.)).

Sobre los límites, es diferente, los límites pertenecen al prodocto (límite discreto), y para una representación "geométrica" la dimensión crece...

De todos modos un elemento de $Lim_{i\in I}X_i$ puede ser visto como una cadena coherente (de la alguna forma de $I$ ) de elementos: sólo uno $x_i$ para cualquier espacio $X_i$ La coherencia significa que estos elementos están conectados entre sí por medio de mapas de morfismo del diagrama.

Espero que esto pueda ayudarte.