Hola, estoy tratando de averiguar los detalles de la prueba del Teorema 5.14 (p.246) en la CFT de Milne (ver aquí) . Espero que alguien esté familiarizado con esto. Pero permítanme esbozar la prueba y lo que no entiendo. Por favor, siéntase libre de responder a cualquiera de las preguntas a continuación.
Teorema 5.14 Dejemos que $x, y, z$ sean enteros positivos primos relativos tales que $p$ no divide $xyz$ y $x^p + y^p = z^p$ . Entonces para cada primo $q$ dividiendo $xyz$ la ecuación $q^{p-1} \equiv 1 \mod{p^2}$ se mantiene.
Prueba
Dejemos que $\zeta\in \mathbb C$ sea una primitiva $p$ -raíz de la unidad. Ahora consideramos $K = \mathbb Q[\zeta]$ y su anillo de enteros $\mathcal O_K = \mathbb Z[\zeta]$ . Tenga en cuenta que $(p) = \mathfrak p^{p-1}$ donde $\mathfrak p$ es el ideal primo generado por $\pi = 1-\zeta$ .
Sabemos que $z^p = \prod\limits_{i=0}^{p-1} (x+\zeta^i y)$ . Porque $x+\zeta^iy$ son relativamente primos por parejas, sus ideales principales son $p$ -a las potencias de los ideales en $\mathbb Z[\zeta]$ .
Esto implica que el $p$ -símbolo de residuo de potencia $\left(\frac{\alpha}{\beta}\right) = 1$ para todos $\beta \in \mathbb Z[\zeta]$ relativamente primo a $\alpha = \frac{x+\zeta y}{x+y} = 1 - \frac{y\pi}{x+y}$ con el elemento primo $\pi=1-\zeta$ . (Q1)
Configurar $\beta = q^{p-1}$ también se puede comprobar $\left(\frac{\beta}{\alpha}\right) = 1$ . (Q2)
El teorema de reciprocidad de los residuos de potencia dice $\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)\left(\frac{\alpha}{\beta}\right) ^{-1} = (\alpha,\beta)_{\mathfrak p}$ donde $(\alpha,\beta)_{\mathfrak p}$ es el símbolo de Hilbert en $K$ ( $=\mathbb Q[\zeta]$ ).
Se puede calcular $(\alpha,\beta)_{\mathfrak p} = \zeta^{\mathrm{Tr}_{K/\mathbb Q}(\eta)}$ donde $\eta = \frac{\beta-1}{p}\frac{\alpha-1}{\pi}$ . (Q3)
De la trivialidad de los símbolos de residuo de potencia anteriores obtenemos $(\alpha,\beta)_{\mathfrak p} = 1$ o de forma equivalente $p$ divide el número entero $\mathrm{Tr}_{K/\mathbb Q}(\eta)$ .
Calculamos $\mathrm{Tr}(\frac{\alpha-1}{\pi}) = \mathrm{Tr}(-\frac{y}{x+y}) = -\frac{y}{x+y}\cdot (p-1)$ que es relativamente primo de $p$ . Por lo tanto, $\frac{\beta-1}{p} = \frac{q^{p-1}-1}{p}$ es divisible por $p$ .
Preguntas
(P1) Entiendo que $\alpha$ genera un ideal principal (fraccionario) que es un $p$ -ésima potencia de otro ideal (fraccionario). ¿Por qué esto implica $\left(\frac{\alpha}{\beta}\right) = 1$ para todos $\beta \in \mathbb Z[\zeta]$ relativamente primo a $\alpha$ ?
(P2) Claramente $\left(\frac{\beta}{\alpha}\right) = \left(\frac q\alpha\right)^{p-1} = \left(\frac q\alpha\right)^{-1} = 1 \iff \left(\frac q\alpha\right) = 1$ Pero, ¿cómo se continúa a partir de ahí?
(P3) Justo antes en la CFT de Milne en las páginas 244f (en particular la Proposición 5.12), hay una descripción de cómo calcular exactamente estos símbolos de Hilbert. Pero no puedo relacionar esa descripción con $(\alpha,\beta)_{\pi}=(\alpha,\beta)_{\mathfrak p} = \zeta^{\mathrm{Tr}_{K/\mathbb Q}(\eta)}$ .
Último comentario
La literatura que conozco son los apuntes del curso de Milne (ver aquí) El libro "Local fields" de Serre, y "Algebraic Number Theory" de Neukirch (que incluye su libro sobre teoría de campos de clases). Cualquier consejo sobre las preguntas será bienvenido, pero puedo analizar un lenguaje similar al de esos libros más rápido.
