Demuestre que el conjunto ${f_1,\dots, f_n}$ depende linealmente de $[a,b]$ si $\text{det}\left(\int_a^bf_i(x)\space f_j(x)\right)=0$

Question

Dejemos que $f_1, f_2 \dots f_n$ sean funciones continuas de valor real sobre $[a,b]$ . Demuestre que el conjunto ${f_1,\dots, f_n}$ depende linealmente de $[a,b]$ si

$$\text{det}\left(\int_a^bf_i(x)\space f_j(x)\right)=0$$

Si el determinante de esta matriz (llámese $M_{ij})$ es 0, entonces existe un $v$ tal que $Mv=0$ . ¿Y luego qué? Intenté formar la expresión $0 = v^{T}Mv$ pero no estoy seguro de lo que consigue ....

Answer 1

Su instinto de $Mv=0$ es buena. El siguiente salto que hay que dar es darse cuenta de que $(f, g) \mapsto \int^a_b fg$ es un producto interno sobre el $\mathbb{R}$ -espacio $C([a, b], \mathbb{R})$ (también conocido como el conjunto de funciones continuas de $[a, b]$ a $\mathbb{R}$ ). En adelante denotaremos sensiblemente $\int^a_b fg$ como $\langle f, g \rangle$ .

Nuestra prueba se va a basar en la sincronización de dos ecuaciones juntas.

La primera es una elaboración de lo que es este " $Mv=0$ " parece. Recuerda que $M$ es, por supuesto, nuestra "Gram-Matrix"

$$\begin{bmatrix} \langle f_1, f_1 \rangle & \dots & \langle f_1, f_n \rangle \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \langle f_n, f_1 \rangle & \dots & \langle f_n, f_n \rangle \end{bmatrix},$$

y $v$ es algún valor real no zer0 $n$ -vector de filas de dimensión variable $(v_1, \dots, v_n)$ . Como has observado, nuestra hipótesis nos da $$\begin{bmatrix} \langle f_1, v_1f_1+ \dots+v_nf_n \rangle \\ \vdots \\ \langle f_n, v_1f_1+ \dots+v_nf_n \rangle \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} v_1\langle f_1, f_1\rangle+ \dots+v_n\langle f_1, f_n \rangle \\ \vdots \\ v_1\langle f_n, f_1\rangle+ \dots+v_n\langle f_n, f_n \rangle \end{bmatrix}=Mv=\begin{bmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix},$$ para algunos $v$ .

Nuestra siguiente ecuación se basa en un paso atrás en lo que queremos demostrar. Recordemos que en este galimatías del producto interno lo único que queremos es un $a_1, \dots, a_n$ tal que $a_p \neq 0$ para algunos $p \in [n]$ tal que $a_1f_1+\dots+a_nf_n=0$ . Esta condición es válida para $a_1, \dots a_n$ si y sólo si $$\sum^n_{i=1}a_i\langle f_i, a_1f_1+\dots+a_nf_n \rangle=||a_1f_1+\dots+a_nf_n||^2=0.$$

Ahora bien, una vez que se estomaga la notación, entonces la prueba será simplemente elegir su $v \neq 0$ tal que $Mv=0$ y la sincronización de las dos ecuaciones.

Espero que esto ayude.