Definimos la acción como: $$\mathcal{S}(t)=\int_{t_1}^{t_2}\mathcal{L}(q_i,\dot{q_i},t) dt$$ donde $q_i(t_1)$ y $q_i(t_2)$ son conocidos y fijos. El principio de Hamilton establece que la trayectoria que se sigue tiene una acción mínima. Supongamos que sólo conocemos las coordenadas iniciales de un sistema, es decir $q_i(t_1)$ y no sus coordenadas finales. ¿Cómo podemos averiguar la trayectoria seguida por el sistema utilizando el principio de mínima acción (Principio de Hamilton)? Me parece que sólo se puede utilizar cuando se conocen los dos puntos finales.
Respuestas
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Este es un punto sutil. En principio, $q(t_2)$ (así como $q(t_1)$ ) se mantiene fija en su valor final desconocido. Sin embargo, en la práctica, para aplicar el principio de Hamilton no se fijan directamente esos puntos finales de la trayectoria ni se calculan las acciones, como cabría esperar.
En la práctica (para sistemas clásicos - las cosas son diferentes en la mecánica cuántica), siempre se resuelve primero el problema general, ignorando la condición inicial y exigiendo que la acción sea estacionaria para arbitrario posiciones iniciales y finales fijas. (Por "fijo arbitrario", que puede sonar contradictorio, quiero decir que estás requiriendo que la acción sea estacionaria sobre el espacio de trayectorias con puntos finales fijos, pero estás resolviendo por separado el problema para todas las posibles elecciones de puntos finales fijos, en lugar de resolverlo para una única elección específica de puntos finales).
Esto nos da la ecuación de Euler-Lagrange, que resulta ser independiente de esos puntos finales. Entonces te olvidas por completo de la acción y te limitas a trabajar directamente con la ecuación de Euler-Lagrange, que es una ecuación diferencial que puede abordarse como un problema de valores iniciales. En la práctica, este segundo paso acaba siendo completamente independiente del paso inicial de variar la acción: el formalismo de la acción te da la ecuación de E-L, pero luego puedes olvidarte de ella y pasar directamente a la ecuación de E-L.
Así que es este extraño concepto de dos pasos, donde mantienes el punto final de la trayectoria fijo en un desconocido (literalmente sólo la variable ficticia " $q(t_2)$ ", sin valor fijo asignado). Dado que el valor de $q(t_2)$ acaba no entrando en la ecuación diferencial que sale, en realidad no necesitas saberlo de antemano.
Stefano
Puntos
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OP es correcto: El principio de acción estacionaria (SAP)/principio de Hamilton(HP) necesita $^1$ condiciones de contorno (BC), es decir ambos condiciones iniciales y finales. Esto se debe a que necesitamos el $$\text{boundary-terms}~=~\left[\sum_{j=1}^np_j\delta q^j \right]_{t=t_i}^{t=t_f}~=~0\tag{1}$$ a desaparecer cuando variamos la acción $\delta S$ para encontrar trayectorias estacionarias.
En conclusión: El SAP/HP puede no aplicarse directamente para resolver un problema de valor inicial (IVP).
(Por supuesto, el SAP/HP puede utilizarse de forma indirecta en cierto sentido: 1. Utilizar primero el SAP/HP con las BC pertinentes para establecer las MOE en primer lugar. 2. A continuación, utilice los MOE para resolver un PIV).
Véase también, por ejemplo este post relacionado de Phys.SE.
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$^1$ Obsérvese que si el lagrangiano $L(q,t)$ no depende de las velocidades $\dot{q}$ es decir, el sistema es estático, entonces no necesitamos ninguna BC.
