Por lo que he podido entender, parece que quieres saber si el tiempo geodésica puede alcanzar la frontera conforme de AdS. Si ese es el caso (por favor, confírmalo), la respuesta es no - ninguna geodésica semejante al tiempo puede alcanzar el infinito conforme, sino que se reenfoca constantemente hacia la masa de forma periódica. Para evitarlo, es necesario que las curvas temporales tengan cierta aceleración. Por otro lado, las geodésicas nulas máximamente extendidas (es decir, los rayos de luz) siempre alcanzan el infinito conformacional, tanto en el pasado como en el futuro. Una ilustración de estos hechos utilizando los diagramas de Penrose puede encontrarse, por ejemplo, en la sección 5.2, pp. 131-134 del libro de S. W. Hawking y G. F. R. Ellis, "The Large Scale Structure of Space-Time" (Cambridge, 1973).
El razonamiento detallado del párrafo anterior puede verse de forma global y geométrica. En lo que sigue, seguiré en gran medida el argumento presentado en el libro de B. O'Neill, "Semi-Riemannian Geometry - With Applications to Relativity" (Academic Press, 1983), especialmente la Proposición 4.28 y las observaciones posteriores, pp. 112-113. En beneficio de quienes no tengan acceso al libro de O'Neill, presentaré el argumento autocontenido con todo detalle. Utilizaré el hecho de que $AdS_4$ es el recubrimiento universal del hiperboloide incrustado $H_m$ ( $m>0$ ) en $\mathbb{R}^{2,3}=(\mathbb{R}^5,\eta)$
$$ H_m=\{x\in\mathbb{R}^5\ |\ \eta(x,x)\doteq -x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2-x_4^2=-m\}\ . $$
El mapa de cobertura $\Phi:AdS_4\ni(t,r,\theta,\phi)\mapsto (x_0,x_1,x_2,x_3,x_4)\in H_m\subset\mathbb{R}^{2,3}$ a través de las coordenadas globales $(t\in\mathbb{R},r\geq 0,0\leq\theta\leq\pi,0\leq\phi<2\pi)$ viene dada por
$$ x_0=\sqrt{m(1+r^2)}\sin t\ ;$$ $$ x_1=\sqrt{m}r\sin\theta\cos\phi\ ;$$ $$ x_2=\sqrt{m}r\sin\theta\sin\phi\ ;$$ $$ x_3=\sqrt{m}r\cos\theta\ ;$$ $$ x_4=\sqrt{m(1+r^2)}\cos t\ .$$
El pullback de la métrica plana pseudo-riemanniana ambiental $\eta$ definido anteriormente (con la firma $(-+++-)$ ) por $\Phi$ tras la restricción a $H_m$ produce el $AdS_4$ en la forma que aparece en la pregunta y en la bonita respuesta de Pedro Figueroa hasta un factor constante y positivo:
$$ds^2= m\left[-(m+r^2)dt^2+(m+r^2)^{-1}dr^2+r^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2)\right]\ .$$
La terminación conformada de $AdS_4$ por su parte, se obtiene mediante el cambio de variable radial $u=\sqrt{m+r^2}-r$ para que $r=\frac{m-u^2}{2u}$ , $dr=-\frac{1}{u}(\frac{m+u^2}{2u})du$ y $m+r^2=(\frac{m+u^2}{2u})^2$ , dando lugar a
$$ds^2=\frac{m}{u^2}\left[-\left(\frac{m+u^2}{2}\right)^2dt^2+du^2+\left(\frac{m-u^2}{2}\right)^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2)\right]\ .$$
El infinito conforme se alcanza tomando $r\rightarrow+\infty$ que es lo mismo que $u\searrow 0$ . La métrica reescalada $\Omega^2 ds^2$ , $\Omega=m^{-\frac{1}{2}}u$ da como resultado el universo estático tridimensional de Einstein como límite conforme (es decir $u=0$ ).
Está claro que $H_m$ es un conjunto de niveles de la función $f:\mathbb{R}^5\rightarrow\mathbb{R}$ dado por $f(x)=\eta(x,x)$ . Por lo tanto, el campo vectorial $X_x=\frac{1}{2}\mathrm{grad}_\eta f(x)=x$ (donde $\mathrm{grad}_\eta$ es el operador de gradiente definido con respecto a $\eta$ ) es normal en todas partes para $H_m$ - es decir, cualquier vector tangente $X_x\in T_x H_m$ satisface $\eta(X_x,T_x)=0$ . Dados dos campos vectoriales $T,S$ tangente a $H_m$ la derivada covariante intrínseca $\nabla_T S$ en $H_m$ viene dada simplemente por la componente tangencial de la derivada covariante ambiental (plana) $(\partial_T S)^a=T^b\partial_b S^a$ :
$$ \nabla_T S=\partial_T S-\frac{\eta(X,\partial_T S)}{\eta(X,X)}X=\partial_T S+\frac{\eta(X,\partial_T S)}{m}X\ .$$
El componente normal de $\partial_T S$ por su parte, tiene una forma especial debido a la naturaleza de $H_m$ (Obsérvese que $\partial_a X^b=\partial_a x^b=\delta^b_a$ ):
$$ \eta(X,\partial_T S)=\underbrace{\partial_T(\eta(X,S))}_{=0\ ;}-\eta(S,\partial_T X)=-\eta(S,T)\ \Rightarrow\ \frac{\eta(X,\partial_T S)}{\eta(X,X)}X=\frac{\eta(S,T)}{m}X\ .$$
Por ello, concluimos que una curva $\gamma:I\ni\lambda\mapsto\gamma(\lambda)\in H_m$ ( $I\subset\mathbb{R}$ es un intervalo con interior no vacío) es una geodésica de $H_m$ si y sólo si $\frac{d^2\gamma(\lambda)}{d\lambda^2}(\lambda)\doteq\ddot{\gamma}(\lambda)$ es en todas partes normal a $H_m$ Es decir,
$$\ddot{\gamma}(\lambda)=-\frac{1}{m}\eta(\ddot{\gamma}(\lambda),X_{\gamma(\lambda)})X_{\gamma(\lambda)}=\frac{1}{m}\eta(\dot{\gamma}(\lambda),\dot{\gamma}(\lambda))X_{\gamma(\lambda)}=\frac{1}{m}\eta(\dot{\gamma}(\lambda),\dot{\gamma}(\lambda))\gamma(\lambda)\ .$$
En particular, si $\eta(\dot{\gamma}(\lambda),\dot{\gamma}(\lambda))=0$ entonces $\gamma$ es también una geodésica (nula) en el espacio ambiente $\mathbb{R}^{2,3}$ .
Dado $x\in H_m$ el tramo lineal de $X_x=x$ y cualquier vector tangente $T_x\neq 0$ a $H_m$ en $x$ define un 2-plano $P(T_x)$ a través del origen de $\mathbb{R}^5$ y que contiene $x$ . En otras palabras,
$$ P(T_x)=\{\alpha X_x +\beta T_x\ |\ \alpha,\beta\in\mathbb{R}\}\ , $$
y por lo tanto
$$ P(T_x)\cap H_m=\{y=\alpha X_x+\beta T_x\ |\ \eta(y,y)=-\alpha^2 m+\beta^2\eta(T_x,T_x)=-m\}\ .$$
Esto nos permite ya clasificar $P(T_x)\cap H_m$ según el carácter causal de $T_x$ :
- $T_x$ de tiempo (es decir $-k=\eta(T_x,T_x)<0$ ): tenemos que $m\alpha^2+k\beta^2=m$ con $k,m>0$ Por lo tanto $P(T_m)\cap H_m$ es una elipse;
- $T_x$ espacial (es decir $k=\eta(T_x,T_x)>0$ ): tenemos que $m\alpha^2-k\beta^2=m$ con $k,m>0$ Por lo tanto $P(T_m)\cap H_m$ es un par de hipérbolas, una con $\alpha>0$ y el otro con $\alpha<0$ . El punto $x=X_x$ pertenece a la primera hipérbola;
- $T_x$ de luz (es decir $\eta(T_x,T_x)=0$ ): tenemos que $\alpha^2=1$ con $\beta$ arbitraria, por lo que $P(T_m)\cap H_m$ es un par de rectas, una dada por $\alpha=1$ y el otro por $\alpha=-1$ . El punto $x=X_x$ pertenece a la primera línea. Observa que cada una de estas líneas es una geodésica nula tanto en $H_m$ y en $\mathbb{R}^{2,3}$ ¡!
Además, $x=\gamma(0)$ y $T_x=\dot{\gamma}(0)$ definir una condición inicial general para una geodésica $\gamma$ a partir de $x$ . Queda por demostrar que cualquier curva que se mantenga en $P(T_x)\cap H_m$ es una geodésica en $H_m$ . Esto es claramente cierto para $T_x$ ligero, ya que en este caso ya hemos concluido que $\gamma(\lambda)=x+\lambda T_x$ para todos $\lambda\in\mathbb{R}$ . Para el resto de los casos (es decir $\eta(T_x,T_x)\neq 0$ ), considere un $\mathscr{C}^2$ curva $\gamma$ en $P(T_x)\cap H_m$ a partir de $\gamma(0)=x$ con $\dot{\gamma}(0)=\dot{\beta}(0)T_x$ (suponemos que $\dot{\gamma}(\lambda)\neq 0$ para todos $\lambda$ ). Escribir $\gamma(\lambda)=\alpha(\lambda)X_x+\beta(\lambda)T_x$ De la clasificación anterior, concluimos que $P(T_x)\cap H_m$ que podemos elegir el parámetro $\lambda$ para que
- $T_x$ como el tiempo: $\alpha(\lambda)=\cos\lambda$ , $\beta(\lambda)=\sqrt{-\frac{m}{\eta(T_x,T_x)}}\sin\lambda$ para que $\eta(\dot{\gamma}(\lambda),\dot{\gamma}(\lambda))=-m$ con $\dot{\beta}(0)=\sqrt{-\frac{m}{\eta(T_x,T_x)}}$ ;
- $T_x$ espacial: $\alpha(\lambda)=\cosh\lambda$ , $\beta(\lambda)=\sqrt{\frac{m}{\eta(T_x,T_x)}}\sinh\lambda$ para que $\eta(\dot{\gamma}(\lambda),\dot{\gamma}(\lambda))=+m$ con $\dot{\beta}(0)=\sqrt{\frac{m}{\eta(T_x,T_x)}}$ .
En ambos casos, concluimos que
$$ \ddot{\gamma}(\lambda)=\frac{\eta(\dot{\gamma}(\lambda),\dot{\gamma}(\lambda))}{m}\gamma(\lambda)\ ,$$
es decir $\gamma$ debe satisfacer la ecuación geodésica en $H_m$ con la parametrización elegida, como se desea. Dado que cualquier par de condiciones iniciales para una geodésica determina un 2-plano a través del origen de la manera anterior, concluimos que la geodésica resultante en $H_m$ permanecerá para siempre en ese 2 plano. Para su uso posterior, observo que todas las geodésicas de $H_m$ cruzan al menos una vez el plano 2 $P_0=\{x\in\mathbb{R}^5\ |\ x_1=x_2=x_3=0\}$ - esto se puede ver fácilmente en la clasificación de los conjuntos $P(T_x)\cap H_m$ . Esto nos permite prescribir las condiciones iniciales en $P_0$ para todas las geodésicas en $H_m$ .
Ahora tenemos un conocimiento completo de las geodésicas en el dominio fundamental $H_m$ de $AdS_4$ . ¿Qué pasa cuando volvemos a la cobertura universal? Lo que ocurre es que las elevaciones de las geodésicas espaciales y ligeras quedan confinadas a una sola copia del dominio fundamental, mientras que las elevaciones de las geodésicas temporales no. Para ver esto, explotamos el hecho de que las traslaciones en la coordenada temporal $t$ son isometrías y la observación al final del párrafo anterior para establecer $$\gamma(0)=X_x=x=(0,0,0,0,\sqrt{m})$$ en $H_m$ (es decir $\gamma$ se hace comenzar en $P_0$ con $t=0$ ), por lo que $$\dot{\gamma}(0)=T_x=(y_0,y_1,y_2,y_3,0)\ .$$ También normalizamos $\eta(T_x,T_x)$ a $-m$ , $+m$ o cero dependiendo de si $T_x$ es, respectivamente, temporal, espacial o lumínico. Escribiendo una vez más $\gamma(\lambda)=\alpha(\lambda)X_x+\beta(\lambda)T_x$ utilizamos la clasificación de las geodésicas en $H_m$ por su carácter causal para escribir fórmulas explícitas para $\gamma$ :
- $T_x$ timelike $\Rightarrow$ $\gamma(\lambda)=(\cos\lambda)X_x+(\sin\lambda)T_x$ ;
- $T_x$ espaciales $\Rightarrow$ $\gamma(\lambda)=(\cosh\lambda)X_x+(\sinh\lambda)T_x$ ;
- $T_x$ ligero como $\Rightarrow$ $\gamma(\lambda)=X_x+\lambda T_x$ .
Las expresiones anteriores muestran que, en los casos espaciales y ligeros, la última componente $\gamma(\lambda)_4$ de $\gamma(\lambda)$ nunca llega a cero, lo que implica por continuidad que la coordenada temporal $t$ se mantiene dentro del intervalo $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ por lo que la elevación de $\gamma$ a $AdS_4$ se mantiene dentro de una sola copia de su dominio fundamental. También se ve que los componentes espaciales (1,2,3) de $\gamma(\lambda)$ ir al infinito como $\lambda\rightarrow\pm\infty$ Por lo tanto $u\rightarrow 0$ a lo largo de estas geodésicas como $\lambda\rightarrow\pm\infty$ . En el caso del tiempo, todo el intervalo de tiempo $[0,2\pi]$ está atravesado por $\gamma(\lambda)$ como $\lambda$ abarca el intervalo $[0,2\pi]$ . Como la curva es cerrada, su elevación a $AdS_4$ abarca toda la línea de tiempo $\mathbb{R}$ como $\lambda$ lo hace. Por otro lado, está claro que en este caso los componentes espaciales de $\gamma(\lambda)$ simplemente se mantiene oscilando dentro de un intervalo acotado de la coordenada $r$ - por lo tanto, la coordenada $u$ permanece acotado lejos de cero. Por lo tanto, una geodésica temporal $\gamma$ nunca escapa al infinito conforme.
