¿Por qué requiere Rudin $1\neq 0$ para que un conjunto forme un campo?

Question

Lo siguiente viene de Baby Rudin:

¿Hay alguna razón especial por la que Rudin hace $1\neq 0$ ¿un requisito? He visto que utiliza este hecho en algunas pruebas elementales a continuación, la única consecuencia de esto es excluir la $\{0\}$ campo, ¿verdad?

Answer 1

En la geometría algebraica, los campos son, a grandes rasgos corresponden a "puntos". El anillo cero no corresponde a un punto, sino que corresponde al conjunto vacío.

En términos más prácticos, resulta que el anillo cero no se comporta como un campo, por lo que no debería llamarse campo. Por ejemplo, hay un único módulo sobre el anillo cero, es decir, el módulo cero. Los módulos sobre un campo deben ser espacios vectoriales, y debe haber uno para cada dimensión posible.

Una forma de escribir la definición de campo para que excluya naturalmente el anillo cero es que un campo es un anillo conmutativo con exactamente dos ideales. El anillo cero sólo tiene un ideal . Ver también demasiado simple para ser simple .

Answer 2

Aún más simple que la bonita definición de Qiaochu Yuan sobre los ideales, es conveniente y memorable definir un campo como un anillo cuyos elementos no nulos forman un grupo bajo la multiplicación. Como los grupos no pueden estar vacíos, eso excluye la posibilidad de que $0 = 1$ .