Jacobiano para $X = YX'$ donde $X',Y,X$ son $n\times n$ ¿matrices?

Question

Estoy tratando de trabajar a través de este ejemplo en el wiki para las medidas de Haar , demostrando que

$$ \mu(S) = \int_S \frac{1}{|\det(X)|^n}\,dX $$

es una medida de Haar izquierda para $\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})\subseteq \mathbb{R}^{n^2}$ . Esto sólo viene a hacer un simple cambio de variables $X = YX'$ donde $Y\in \mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ . ¿Existe una forma sencilla de calcular este jacobiano? Mi primer instinto es reetiquetar $X_{11},X_{12},\ldots X_{nn}$ como $X_1,X_2,\ldots,X_{n^2}$ pero esto oscurece la bonita estructura de la matriz.

Answer 1

Consideremos el mapa lineal $L_A \colon M_n(\mathbb{R}) \rightarrow M_n(\mathbb{R})$ dado por $L_A(X) = AX$ . Denote por $e_{ij}$ la matriz cuya $(i,j)$ La entrada es $1$ y todas las demás entradas son cero, y considera la base ordenada $\mathcal{B} = (e_{11}, \dots, e_{n1}, e_{12}, \dots, e_{n2}, \dots, e_{1n}, \dots e_{nn})$ . Con respecto a $\mathcal{B}$ el operador $L_A$ está representada por una matriz diagonal de bloques

$$ [L_A]_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} A & \dots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \dots & A \end{pmatrix}. $$

Así, $\det(L_A) = \det(A)^n$ y como $L_A$ es lineal, el jacobiano es también $\det(A)^n$ .