Dejemos que $G$ sea un grupo finito no cíclico. ¿Puede un automorfismo no interior asignar cada subgrupo a su conjugado? Es decir, ¿puede haber un automorfismo no interior $\alpha$ que, para cada $H\le G$ existe alguna $g$ sur $G$ tal que $\alpha(H)=H^g$ ?
Respuesta
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Sí, el grupo diedro de orden 10 tiene esta propiedad. Su estructura de subgrupos es muy simple: $D_{10}$ , $\{e\}$ , el subgrupo de rotación, y los 5 subgrupos generados por un giro. Cualquier automorfismo fija los tres primeros, por lo que esos están hechos, y baraja los cinco últimos, y esos 5 subgrupos son todos conjugados entre sí.
Todo lo que necesitamos ahora es demostrar que hay un automorfismo no interior, pero esto es fácil; los automorfismos interiores siempre envían una rotación a su inversa (o la fijan), así que sólo necesitamos un automorfismo que no haga eso. Dejemos que los generadores sean $\sigma,\tau$ , rotación y volteo, y considerar el automorfismo definido en las rotaciones por $\sigma \mapsto \sigma^2$ y la fijación de $\tau$ .
