La discretización de una EDO no lineal de segundo orden utilizando la aproximación por diferencias finitas no es correcta

Question

Tengo la ecuación diferencial $$y'' + x(y^2)' - 2y^2 = g(x) \Longleftrightarrow y'' + x2yy'-2y^2 = g(x).$$ Utilización de aproximaciones por diferencia finita $$y''(x_m) \approx \frac{Y_{m-1} - 2Y_m + Y_{m+1}}{\Delta x^2},$$ $$y'(x_m) \approx \frac{Y_{m+1} - Y_{m-1}}{2\Delta x},$$ $$y(x_m) \approx Y_m,$$ Me sale $$\frac{Y_{m-1} - 2Y_m + Y_{m+1}}{\Delta x^2} + \frac{x_m}{\Delta x}Y_m(Y_{m+1}-Y_{m-1}) - 2Y_m^2 = g(x_m).$$ Sin embargo, se supone que la respuesta es

¿Por qué el segundo término de mi respuesta es incorrecto?

Answer 1

En la segunda versión utilizan una representación en diferencias finitas del término $y^2$ :

$$(y^2)' \approx \frac{y^2_{m + 1} - y^2_{m - 1}}{2\Delta x} \tag{1}$$

Mientras se utiliza una representación finita de $2y y'$ :

$$2y y' \approx 2y_m\frac{y_{m + 1} - y_{m - 1}}{2\Delta x} \tag{2}$$

Pero son equivalentes, si se toma (si la solución $y$ es lo suficientemente suave como para aproximar el valor de un nodo con la media de sus nodos vecinos)

$$y_m \approx \frac{y_{m + 1} + y_{m - 1}}{2} \tag{3}$$

Entonces la Ec. (2) se convierte en

$$2yy' \approx 2y_m\frac{y_{m + 1} - y_{m - 1}}{2\Delta x} \approx (y_{m + 1} + y_{m - 1})\frac{y_{m + 1} - y_{m - 1}}{2\Delta x} = \frac{y^2_{m + 1} - y^2_{m - 1}}{2\Delta x} \approx (y^2)'$$