Algo de álgebra (potencialmente) muy simple que no puedo entender

Question

Bien, no pude ser más específico en el título porque honestamente no puedo hacerlo encajar de manera que tenga sentido.

Nos lo han dicho:

$$A + B = C + D \tag{1}$$

y

$$ik_1A - ik_1B = ik_2C-ik_2D \tag{2}$$

Estoy tratando de demostrarlo:

$$\frac{A+B}{A-B} = \frac{k_1}{k_2}\frac{C+D}{C-D} = \frac{k_1^2}{k_2^2} $$

Así que básicamente he reordenado la ecuación $(2)$ para demostrar que $$ A-B=\frac{k_2}{k_1}(C-D) $$ y así podemos tomar la ecuación $(1)$ , dividir ambos lados por $A-B$ y luego sustituir la expresión de $A-B$ que acabamos de encontrar, en cuyo punto obtenemos

$$ \frac{A+B}{A-B} = \frac{C+D}{A-B} = \frac{k_1}{k_2}\frac{C+D}{C-D} \\$$

Aquí es donde me encuentro con un callejón sin salida. Puedo demostrar que $\dfrac{k_1}{k_2} = \dfrac{C-D}{A-B},\quad$ pero no puedo mostrar $\quad\dfrac{C+D}{C-D} = \dfrac{k_1}{k_2}$

(lo que me daría la última parte) y sinceramente llevo toda la mañana dándole vueltas a la cabeza y haciéndome más de un lío.

¿Puede alguien darme un empujón y sacarme de mi miseria? Esto ni siquiera es una parte real de la pregunta, es como el preámbulo (la pregunta en general tiene que ver con la sintonización y la dispersión en la mecánica cuántica)

Answer 1

La principal razón por la que te cuesta tanto demostrarlo es que es falso.

Para mantener la notación simple, escriba $$ \lambda = \frac{k_1}{k_2}. $$ (Esto es válido, porque la pregunta requiere que asumamos $k_2 \ne 0$ en cualquier caso).

Así, (suponiendo también que $i \ne 0$ - que es cierto en particular si $i$ denota una raíz cuadrada de $-1$ ) se nos da: \begin{align*} A + B & = C + D, \\ \lambda(A - B) & = C - D. \end{align*}

Una pista que algo está mal es que no hay nada aquí que implique que $A \ne B$ o $C \ne D,$ ambas condiciones son requeridas en para que la conclusión tenga sentido.

Un indicio aún más fuerte de que algo va mal es que si $(A, B, C, D)$ es cualquier solución de (1) y (2), entonces también lo es $$ (A', B', C', D') = (A + h, B + h, C + h, D + h), $$ para cualquier número $h,$ pero si $h \ne 0,$ entonces $$ \frac{A' + B'}{A' - B'} = \frac{A + B}{A - B} + \frac{2h}{A - B} \ne \frac{A + B}{A - B}, $$ por lo que no puede ser cierto que $$ \frac{A + B}{A - B} = \lambda^2 $$ para cada solución $(A, B, C, D)$ de (1) y (2).

Answer 2

Comienza con las soluciones de la ecuación de Schrodingar para el potencial de paso finito con E>V:

$x<0:\psi_1=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}$

$x>0: \psi_2=Ce^{ipx}+De^{-ipx}$

La función de onda y la primera derivada son continuas para potenciales acotados, por lo que:

$i) A+B=C+D$

$ii) ik(A-B)=ip(C-D)$

Tenemos dos ecuaciones en dos incógnitas, por lo que deberíamos poder expresar dos de las incógnitas en términos de las otras dos incógnitas. Vamos a encontrar C y D en términos de A y B.

$p(A+B)=p(C+D)$

$k(A-B)=p(C-D)$

Así que: $p(A+B)+k(A-B)=2pC$

Y: $p(A+B)-k(A-B)=2pD$

$\frac{A+B}{A-B}=\frac{k}{p}\frac{C+D}{C-D}$

Esto es lo más lejos que se puede llegar sin otros principios de la mecánica cuántica. La relación declarada de $C+D$ a $C-D$ implica un cociente entre la suma y la diferencia de A y B. Eso, a su vez, permite expresar B en términos de A y luego C y D exclusivamente en términos de A. Esto se permite sólo si se tienen 3 ecuaciones para las 4 incógnitas.

Estas funciones de onda no pueden ser normalizadas. Sin embargo, para un problema de dispersión, no hay ninguna onda entrante desde el lado opuesto de la Barrera de la onda entrante. Debido a la simetría, podemos asumir que la onda entra de izquierda a derecha.

Así que podemos permitir $D=0$ .

Esto, combinado con su ecuación objetivo, implica $k_1/k_2$ es 0 o +/-1, lo que no es posible para un potencial finito no nulo.

Todavía podemos encontrar los coeficientes de transmisión y reflexión.

$T=\frac{pCC^*}{kAA^*} ; R=\frac{BB^*}{AA^*}$

Aquí sólo nos importan los ratios, así que WLOG, $A=1$ .

$ (p-k)A+(p+k)B=0$ .

Así que $B=A\frac{k-p}{k+p}$

$p$ y $k$ son reales, así que $B^*=A^*\frac{k-p}{k+p}$

Así que $R=\frac{(k-p)^2}{(k+p)^2}$

Desde $1+B=C$ , $C=\frac{2k}{k+p}$

Por lo tanto, el coeficiente de transmisión es $T=\frac{p}{k}\frac{4k^2}{(p+k)^2}=\frac{4pk}{(p+k)^2}$

Como es de esperar por la conservación de la probabilidad, tenemos $1=R+T$ .

Tu ecuación objetivo parece una forma de calcular los coeficientes de Transmisión y Reflexión pero intercambiando los números de onda con los coeficientes. Recuerdo vagamente que la multiplicación de los coeficientes de los números de onda juega un papel en el caso de la barrera, a diferencia del potencial de paso.

¿Qué texto estás utilizando para estudiar QM? El de Griffith me ha parecido muy accesible y un buen complemento para Bransden y Jochain. Merece la pena el coste extra si puedes pagarlo.