¿Medidas "estándar" para saber si un polinomio cuaternario irreducible tiene el grupo de Galois C_4?

Question

Los siguientes hechos son estándar: un polinomio cuaternario irreducible $p(x)$ sólo puede tener grupos de Galois $S_4, A_4, D_4, V_4, C_4$ . Sobre un campo de característica no igual a $2$ dependiendo de si el discriminante $\Delta$ es un cuadrado y si el resolvente cúbico $q(x)$ es irreducible, podemos distinguir cuatro casos:

• Si $\Delta$ no es un cuadrado y el resolvente cúbico es irreducible, entonces el grupo de Galois es $S_4$ .
• Si $\Delta$ es un cuadrado y el resolvente cúbico es irreducible, entonces el grupo de Galois es $A_4$ .
• Si $\Delta$ es un cuadrado y el resolvente cúbico es reducible, entonces el grupo de Galois es $V_4$ .
• Si $\Delta$ no es un cuadrado y el resolvente cúbico es reducible, entonces el grupo de Galois es $D_4$ o $C_4$ .

¿Cómo podemos resolver la ambigüedad en el último caso? Para $p$ un polinomio mónico en $\mathbb{Z}[x]$ , conozco los siguientes enfoques:

• En los casos más sencillos se puede trabajar directamente con el campo de división. Pero esto es raro, aunque puede funcionar si $p = x^4 + ax^2 + b$ para algunos $a, b$ .
• Si $p$ tiene dos raíces complejas (equivalentemente, si el discriminante es negativo), hay una transposición en el grupo de Galois, por lo que el grupo de Galois es $D_4$ .
• Si $p$ como producto de dos factores lineales y un factor cuadrático irreducible módulo a un primo, hay una transposición en el grupo de Galois, por lo que el grupo de Galois es $D_4$ .

En la práctica, los dos últimos suelen servir para identificar un grupo de Galois de $D_4$ (y en principio debe funcionar finalmente por el teorema de la densidad de Frobenius). Pero no conozco una forma práctica correspondiente para identificar un grupo de Galois de $C_4$ . Hay un criterio debido a Kappe y Warren del que me enteré por una de las notas expositivas de Keith Conrad aquí . Sin embargo, en un próximo examen que voy a realizar, sólo podré citar resultados probados en el curso, y este criterio no es uno de ellos.

¿Cuáles son mis otras opciones en general?

Answer 1

Dejemos que $F$ sea un campo de característica no igual a 2. Una opción es mirar la reducibilidad de $p(x)$ en $F(\sqrt{\Delta})$ . Si $\Delta$ no es un cuadrado y el resolvente cúbico es reducible, entonces tenemos la siguiente clasificación: $$\text{Gal}(p/F) = D_4 \iff p(x)\text{ is irreducible in } F(\sqrt{\Delta}).$$

Para ver esto, observe que si $\alpha$ es una raíz de $p$ y $\text{Gal}(p/F) = D_4$ entonces $p$ se divide en $F(\sqrt{\Delta},\alpha)$ como $F(\sqrt{\Delta},\alpha)$ se encuentra dentro del campo de división para $p$ y tiene grado 8 sobre $F$ . Pero esto implica que $[F(\sqrt{\Delta},\alpha):F(\sqrt{\Delta})] = 4$ de lo que podemos deducir que $p$ debe ser irreducible sobre $F(\sqrt{\Delta})$ .

Alternativamente, si $\text{Gal}(p/F) = C_4$ entonces el campo de división para $p$ en $F(\sqrt{\Delta})$ tiene grado $\#\text{Gal}(p/F)/[F(\sqrt{\Delta}):F]=2$ y por lo tanto $p$ debe ser reducible sobre $F(\sqrt{\Delta})$ .

Answer 2

Por si sirve de algo, este es un caso especial que se puede hacer con herramientas estándar. De nuevo nos limitamos a un campo base $k$ de la característica no $2$ . Supongamos que $f(x) = (x^2 - a)^2 - b$ es irreducible. (Este es el corolario 4.5 en las notas enlazadas de Keith Conrad, pero allí se demuestra como un corolario de Kappe-Warren). Calculamos que $f'(x) = 4x(x^2 - a)$ dejando que las raíces de $f$ sea $\alpha_1, ... \alpha_4$ el discriminante es entonces

$$(-1)^{ {4 \choose 2} } \prod f'(\alpha_i) = 64 (a^2 - b) b^2$$

que es cuadrado si y sólo si $a^2 - b$ es. Dado que el campo de división de $f$ está dada por una torre de extensiones cuadráticas, el grupo de Galois es uno $V_4, D_4, C_4$ . Trabajo de campo:

• Si $a^2 - b$ es un cuadrado, entonces el grupo de Galois es $V_4$ .
• Si $a^2 - b$ no es un cuadrado y tampoco lo es $b(a^2 - b)$ entonces el campo de división contiene distintos subcampos cuadráticos $k(\sqrt{b})$ y $k(\sqrt{a^2 - b})$ por lo que el grupo de Galois es $D_4$ .
• Si $a^2 - b$ no es un cuadrado sino $b(a^2 - b)$ es, escribir $u = \sqrt{a + \sqrt{b}}$ en un campo de división para $f$ . Entonces $u \sqrt{a - \sqrt{b}} = \sqrt{a^2 - b} = c \sqrt{b} \in k(u)$ para algunos $c \in k$ Por lo tanto $u$ genera el campo de división, que debe tener grado $4$ . Por lo tanto, el grupo de Galois es $C_4$ .