Prueba $2^{1/3}$ es irracional.

Question

Por favor, corrija cualquier error en esta prueba y, si se siente inclinado, proporcione una mejor, donde "mejor" se define por cualquier criterio que prefiera.

1. Supongamos que $2^{1/2}$ es irracional.
2. $2^{1/3} * 2^{x} = 2^{1/2} \Rightarrow x = 1/6$ .
3. $2^{1/3} * {2^{1/2}}^{1/3} = 2^{1/2}$ .
4. si $2^{1/2}$ es irracional, entonces ${2^{1/2}}^{1/3}$ es irracional.
5. $2^{1/3} = 2^{1/2} / {2^{1/2}}^{1/3}$ .
6. $2^{1/3}$ es igual a un número irracional dividido por un número irracional.
7. $2^{1/3}$ es un número irracional.

Answer 1

Su $\#6 \Rightarrow \#7$ no tiene sentido: por ejemplo, $1= \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ pero eso no significa que $1$ es irracional.

Es mejor argumentar por contradicción: supongamos $2^{1/3}$ era un número racional. Entonces es igual a $\frac{a}{b}$ para algunos enteros $a,b \in \mathbb{Z}$ , $b \neq 0$ , $\text{gcd}(a,b)=1$ . Bien, entonces $\frac{a^3}{b^3}=2$ lo que significa $a^3 = 2 b^3$ . Esto demuestra que $a^3$ es un número entero par, por lo que $2$ se divide en ella. Pero si $2$ se divide en $a \times a \times a$ para un número entero $a$ entonces $2$ debe dividirse en cada $a$ Así que $a^3$ es realmente divisible por $2^3=8$ . Pero eso significa $2b^3$ es divisible por $8$ también, así que $b^3$ debe ser divisible por $4$ . En particular, $b$ debe ser divisible por $2$ . Pero ahora tenemos $a$ y $b$ ambos divisibles por $2$ que se contradice con $\text{gcd}(a,b,)=1$ ¡!

Esto parece sospechoso, sin duda, pero funciona. La prueba muestra que la cantidad $2^{1/3}$ es capaz de evadir "ser una fracción

Answer 2

Desde $\mathbb Z$ es un UFD es integralmente cerrado y una solución racional de $x^3-2=0$ sería un número entero.

Answer 3

Supongamos que $2^{1/3}$ es algún número racional a/b en términos mínimos. Entonces $2a^3 = b^3$ . Considera esta ecuación mod 7. Los cubos son 0, 1 o 6 mod 7. Así que tanto a como b deben ser 0 mod 7, contradiciendo que estén en sus términos más bajos.

Esta prueba no tiene nada de especial, aparte de que proviene directamente del algoritmo "Considera la ecuación mod el menor primo que es congruente con 1 mod el h.c.f. de las potencias que aparecen en la ecuación". Esto funciona sorprendentemente a menudo porque el Pequeño Teorema de Fermat asegura que las potencias toman pocos valores mod ese primo.

Answer 4

Dejemos que $x=2^{1/3}$ sea un racional $\frac{p}{q}$ donde $p$ y $q$ son números naturales que no tienen factores comunes.

Entonces $x^3 = 2$ y $x = \frac{x^3}{x^2} = \frac{2}{(2^{1/3})^2} = \frac{2}{\big(\frac{p}{q}\big)^2}$

Por lo tanto, $x = \frac{p}{q} = \frac{2q^2}{p^2}$ .

Desde $\frac{p}{q}$ está en sus términos más bajos, entonces el segundo denominador $p^2$ es un múltiplo de $q$ , lo cual es una contradicción a menos que $q=1$ .

Pero si $q=1$ entonces $x=2^{1/3}=p$ un número natural, por lo que $x$ también es un número natural. Pero $x^3=2$ y ningún número natural es igual a 2 al cubo. Por lo tanto, tenemos una contradicción, y así $x$ debe ser irracional, como se requiere.

Answer 5

Lema: Si $a^p = n b^p$ , donde $a,b,p ∈ Z$ y $p$ es primo, entonces $a = b = 0$ (mod n).

Pf.: Desde $a^p = n b^p$ tenemos $a^p = 0$ (mod n). Pero, por el pequeño teorema de Fermat, a = 0 (mod n). Entonces, tomando a = n k, tenemos $b^p = n^{p - 1} k^p⇒b = 0$ (mod n).

Por el lema anterior, o bien $n^{1/p} = (a/b)⇒ (a/b) ∈ Z$ (ya que a>b) o no puede expresarse en la forma (a/b).

A partir de esto, el caso de $n=2,p=3$ debe seguir.