Prueba $2^{1/3}$ es irracional.

Question

Por favor, corrija cualquier error en esta prueba y, si se siente inclinado, proporcione una mejor, donde "mejor" se define por cualquier criterio que prefiera.

1. Supongamos que $2^{1/2}$ es irracional.
2. $2^{1/3} * 2^{x} = 2^{1/2} \Rightarrow x = 1/6$ .
3. $2^{1/3} * {2^{1/2}}^{1/3} = 2^{1/2}$ .
4. si $2^{1/2}$ es irracional, entonces ${2^{1/2}}^{1/3}$ es irracional.
5. $2^{1/3} = 2^{1/2} / {2^{1/2}}^{1/3}$ .
6. $2^{1/3}$ es igual a un número irracional dividido por un número irracional.
7. $2^{1/3}$ es un número irracional.

Answer 1

No puedo resistirme: Supongamos que $2^{\frac{1}{3}}=\frac{n}{m}$ . Entonces $$2m^3=n^3,$$ o en otras palabras $$m^3+m^3=n^3.$$ Pero esto contradice el último teorema de Fermats.

Answer 2

Sólo tiene que utilizar el prueba de raíz racional en la ecuación polinómica $x^3-2=0$ (nota que $\sqrt[3]{2}$ es una solución a esta ecuación). Si esta ecuación tuviera una raíz racional $\frac{a}{b}$ (con $a,b\in \mathbb{Z}$ y $b\not=0$ ), entonces $b\vert 1$ y $a\vert 2$ . Así, $\frac{a}{b}\in\{\pm 1,\pm 2\}$ . Sin embargo, ninguno de $\pm 1,\pm 2$ son soluciones de $x^3-2=0$ . Por lo tanto, la ecuación $x^3-2=0$ no tiene soluciones racionales y $\sqrt[3]{2}$ es irracional.

Alternativamente, supongamos que tenemos $\sqrt[3]{2}=\frac{a}{b}$ para algunos $a,b\in \mathbb{Z}$ , $b\not=0$ y $\gcd(a,b)=1$ . Entonces, reordenando y cubicando, tenemos $2b^3=a^3$ . Por lo tanto, $a^3$ es incluso....¿qué dice eso de $a$ ? ¿Qué dice eso, a su vez, sobre $b$ ? Realmente no es tan diferente de la prueba clásica que $\sqrt{2}$ es irracional.

Answer 3

Supongamos que $2^{1/3}$ es racional. Entonces $2 \cdot m^3 = n^3$ para algunos $m, n \in \mathbb{N}$ . Mirando el lado izquierdo, la potencia de dos en la factorización de primos de $2 \cdot m^3$ es de la forma $3k + 1$ . En el lado derecho, debe ser de la forma $3l$ . Esto es una contradicción, porque las factorizaciones de ambos lados deben ser iguales por el teorema fundamental de la aritmética. Por lo tanto, $2^{1/3}$ no puede ser racional.

Answer 4

El polinomio $X^3-2$ es irreducible sobre $\mathbb Q$ por El criterio de Eisenstein por lo que no tiene raíz racional.

Answer 5

Sorpresa: las pruebas de irracionalidad de las raíces cúbicas se derivan de las pruebas de irracionalidad de las raíces cuadradas.

Teorema $\ $ Si $\rm\ r^3\: =\: \color{#0A0}m\in \mathbb Z\ $ entonces $\rm\ r\in \mathbb Q\ \Rightarrow\ r\in\mathbb Z$

Prueba $\quad\ \rm r = a/b \in \mathbb Q,\ \ \gcd(a,b) = 1\ \Rightarrow\ ad-bc \;=\; \color{#C00}{\bf 1}\;$ para algunos $\:\rm c,d \in \mathbb{Z}\;\;$ por Bezout.

Así que $\rm\ 0\: =\: (a\!-\!br)\: (dr^2\!+cr) \: =\: \color{#C00}{\bf 1}\cdot r^2 + ac\ r\, - bd\color{#0A0}m \ $ así que $\rm\ r\in\mathbb Z\ $ por el caso cuadrático. $ $ QED

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Nota: $\ $ Esta reducción de grado se generaliza a un grado superior. Si $\rm\ r = a/b \in \mathbb Q\ $ es la raíz de un monic polinomio $\in \mathbb Z[x]\:$ de grado $> 1$ entonces podemos construir un grado inferior monic polinomio que tiene $\rm\:r\:$ como raíz - exactamente como en el caso anterior. Es decir, utilizando la misma notación, tenemos $$\begin{eqnarray} \rm r^{n+1} &=&\rm\: e\ r^n +\: f(r),\quad deg\ f < n,\quad e\in\mathbb Z,\quad f(x)\in \mathbb Z[x] \\[.2em] 0\, &=&\rm\: (a - b\ r)\ (d\ r^n +\: c\ r^{n-1})\ \ \text{so expanding, using above value of } r^{n+1}\ yields\\[.2em] \Rightarrow\ \ 0\, &=&\rm\: (ad\!-\!b\,c)\ r^n +\, ac\ r^{n-1}\! - de\color{#0A0}{\bf b}\ r^n\ \ -\ \, bd\,f(r),\quad\!\! so\ \ \ ad\!-\!bc = \color{#C00}{\bf 1}\ \ yields \\[.2em] \Rightarrow\ \ 0\, &=&\rm\qquad\quad \color{#C00}{\bf 1}\cdot r^n + (ac\ \ \ \,-\ \ \ de\color{#c0f}{\bf a})\, r^{n-1}\! - bd\ f(r),\ \ by\,\ \ \color{#0A0}{\bf b}\,r^n = \color{#c0f}{\bf a}\,r^{n-1}\ {\rm by}\ \ b\,r=a \\ \end{eqnarray}$$

Así, por inducción en $\rm\,n\,$ podemos suponer $\rm\,n = 0,\,$ así que $\rm\, r\ =\ e\in\mathbb Z.\:$ Por tanto, una raíz racional de un polinomio mónico de coeficiente entero es integral si es racional (caso mónico de Prueba de la raíz racional ).