Encontrar todos los primos $p$ satisfaciendo $p=a^2+b^2$ y $p$ divide $a^3+b^3-4$ .

Question

Determinar todos los primos $p$ tal que existen enteros $a, b$ satisfaciendo $p=a^2+b^2$ y $a^3+b^3-4$ es divisible por $p$ .

Así que, $p | ab(a+b)+4$ después de escribir $a^3+b^3-4=(a+b)(p-ab)-4$ y $p=2$ es una solución si $p|4$ . Si $p$ no divide $4$ , $ab(a+b)\equiv -4 \pmod p$ . También, $p=4m+1$ para algún número entero $m$ por el teorema de los dos cuadrados de Fermat. Parece que $5$ y $2$ son los únicos primos que satisfacen las condiciones, pero no puedo demostrarlo.
He intentado manipular las cosas pero no consigo nada. ¿Alguien puede dar una pequeña pista? Gracias.

Answer 1

Observa, $$\begin{align*} 2ab(a+b)+8&\equiv 0 &&\pmod p \\ 2ab&\equiv (a+b)^2&&\pmod p\\ \therefore\;\; (a+b)^3+8&\equiv 0 &&\pmod p \end{align*}$$ Así que, $$p|(a+b+2)\; \;\text{or}\; \;p|(a+b)^2-2(a+b)+4$$

---

Caso 1: $$p|a+b+2$$ $$a^2+b^2|a+b+2\implies a^2+b^2\le a+b+2 \le \sqrt{2(a^2+b^2)}+2$$ $$\therefore\;\; p\le \sqrt{2p}+2 \;\Leftrightarrow\; p\in \{2,3,5\}$$

---

Caso 2: $$p|2ab-2(a+b)+4\implies p=2 \;\; \text{or}\;\; p|ab-a-b+4$$ $$a^2+b^2|ab-a-b+4\implies a^2+b^2\le ab-a-b+4\le ab+4\le \frac{a^2+b^2}{2}+4$$ $$\therefore\;\; p\le \frac{p}{2}+4 \;\Leftrightarrow\; p\in \{2,3,5,7\} $$

---

Si $p=2$ podemos establecer, $(a,b)=(1,1)$
Si $p=5$ podemos establecer, $(a,b)=(1,2)$
Si $p=3$ o $p=7$ tenemos, $p=a^2+b^2$ es imposible por Teorema de Fermat sobre las sumas de dos cuadrados .

Answer 2

Supongamos que $p>2$ y que $s=a+b$ . Entonces $$ab=\frac{(a+b)^2-(a^2+b^2)}2\equiv \frac{s^2}2\pmod p.$$ Ahora, $$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\equiv (a+b)(-ab)\equiv -\frac{s^3}2\pmod p.$$ Esto implica que $s^3\equiv -8$ modulo $p$ . Esto significa que $p\mid s+2$ o $p\mid s^2-2s+4$ .

En el primer caso, $$s\geq p-2\implies p=a^2+b^2\geq \frac{(a+b)^2}2\geq \frac{(p-2)^2}2,$$ lo que implica $p\leq 5$ . En el segundo caso, $$p\mid s^2-2s+4-p=2ab-2(a+b)+4.$$ Desde $p>2$ Esto significa que $p\mid ab-a-b+2$ y por lo tanto $p\leq ab-a-b+2<ab$ . Sin embargo, $a^2+b^2\geq ab$ para que esto no pueda ocurrir.