Integrando $x^2e^{-x}$ usando el truco de Feynman?

Question

En el segundo episodio de la temporada $8$ de "La Teoría del Big Bang", que se emitió ayer por la noche, se afirma que se puede integrar $x^2e^{-x}$ usando el truco de Feynman de diferenciar bajo la integral. ¿Es esto realmente cierto, y si es así, cómo hacerlo? ¿Y es "mejor", en cualquier sentido, que la forma habitual de hacerlo por integración por partes?

Answer 1

Si nos limitamos a calcular sin pensar en problemas como intercambiar la integración y la diferenciación, la derivación es muy sencilla. $$ \int_0^{\infty} x^2e^{-x}dx=\left.\left(\frac{d}{d\alpha}\right)^2\right|_{\alpha=1}\int_0^{\infty} e^{-\alpha x}dx=\left.\left(\frac{d}{d\alpha}\right)^2\right|_{\alpha=1} \frac{1}{\alpha}=\left.\frac{2}{\alpha^3}\right|_{\alpha=1}=2. $$

Si se quieren límites distintos del eje real positivo, el mismo truco permite llegar a $$ \int_a^{b} x^2e^{-x}dx=\left.\left(\frac{d}{d\alpha}\right)^2\right|_{\alpha=1}\int_a^{b} e^{-\alpha x}dx=\left.\left(\frac{d}{d\alpha}\right)^2\right|_{\alpha=1} \frac{1}{\alpha}(e^{-a\alpha}-e^{-b\alpha}). $$ Por supuesto, esto también se puede evaluar explícitamente utilizando la regla de Leibniz, pero lo dejaré a tu criterio.

Answer 2

Probablemente lo que yo haría:

Integración por partes o teorema generalizado de integración: $$\int x^2e^{-x}dx\\=x^2(-e^{-x})-2\int x(-e^{-x})dx\\=-x^2e^{-x}+2\int xe^{-x}dx\\=-x^2e^{-x}+2\left(x(-e^{-x})-\int(-e^{-x})dx\right) \\=-e^{-x}(x^2+2x+2)+c$$