Para qué parejas exactas degeneran las secuencias espectrales asociadas en $E_1$ ?

Question

Es bien sabido que un par exacto bigradado de objetos de una categoría abeliana da lugar a una secuencia espectral (cf. https://ncatlab.org/nlab/show/exact+couple#SecuenciasEspectralesDeLasPartesExactas ). Mi pregunta es: ¿en qué condiciones degenera esta secuencia espectral en $E_1$ (en realidad, me interesan más las condiciones necesarias)? Esta condición parece ser equivalente a la imagen del morfismo $f_1:E_1\to D_1$ en todos los niveles de la filtración de $D_1$ por $g_1^i(D_1)$ (aquí ignoro los índices superiores, y $g_1^i$ denota el $i$ iteración de $g_1:D_1\to D_1$ ). ¿Es esto cierto? ¿Existen referencias de este hecho?

En realidad, me gustaría concluir que $f_1=0$ ¿se desprende esto de la degeneración en $E_1$ ? Estoy más interesado en el caso acotado; por lo que una respuesta a la primera parte de mi pregunta es suficiente para mis propósitos; sin embargo, ¿existen otras condiciones que aseguren que $f_1=0$ siempre que la secuencia espectral degenere en $E_1$ ?

Answer 1

Degenerando en $E_1$ es, como usted describe, equivalente a la imagen del mapa $f_1: D_1 \to E_1$ que está contenida en la imagen de $g_1^i$ para todos $i$ . A grandes rasgos, esto se debe a que la definición del $d_r$ -diferencial en una clase $x$ es la clase de equivalencia de cualquier elemento $h_1 g_1^{1-r} f_1(x)$ , donde $h_1$ es el mapa $D_1 \to E_1$ . Si la secuencia espectral degenera, entonces $E_1 = E_r$ para todos $r$ y así no tenemos que preocuparnos por las clases de equivalencia: entonces esto pide que $g_1^{1-r} f_1(x)$ está en el núcleo de $h_1$ por lo que la imagen de $g_1$ . Entonces repetimos.

No conozco ningún lugar en la bibliografía donde se diga esto explícitamente.

No es necesariamente el caso que $f_1 = 0$ si la secuencia espectral degenera. Por ejemplo, si el mapa $h_1$ es cero para que $0 \to E_1 \xrightarrow{f_1} D_1 \to D_1 \to 0$ es una secuencia exacta, la secuencia espectral sigue degenerando en el $E_1$ -página. Este es un comportamiento habitual para las secuencias espectrales degeneradas en cohomología, más que en homología.