Si todo homomorfismo de módulo finitamente presentado es un factor a través de un módulo libre, entonces $E$ es límite directo de módulos libres finitos

Question

Este es el ejercicio 13 del capítulo 16 del libro "Álgebra" de Lang. Pido que no se dé la solución completa. El paso final del problema es el siguiente.

Supongamos que para cada módulo finitamente presentado $P$ y el homomorfismo $f:P\to E$ existe un módulo libre de rango finito tal que $f$ factores a través de $F$ . Demostrar que $E$ es el límite directo de un sistema de módulos libres finitos.

Intento de solución: sabemos que $E$ es el límite directo de los módulos de presentación finita, véase un ejercicio de un capítulo anterior. Sea $(P,(f_i))$ sean los sistemas dirigidos cuyo límite directo es $E$ con cada $P_i$ siendo de presentación finita. Entonces, por la suposición

es un diagrama conmutativo, para algunos módulos libres de rango finito $F_i$ y $F_j$ . Ahora se trata de encontrar mapas $\phi^i_j:F_i\to F_j$ que satisfagan las propiedades de un sistema dirigido, utilizando los datos dados. Sin embargo, cualquier forma posible en la que he intentado hacer esto, resulta en dos mapas entre nodos que van en direcciones opuestas, lo que entonces implica que estos dos nodos son isomorfos (¿creo?). Por lo tanto, me parece que no hay una forma natural de utilizar los datos dados para encontrar estos $\phi^i_j$ . ¿Me equivoco? Agradecería mucho una pista en la dirección correcta, pero por favor no dar una solución completa.

Answer 1

Esta es la idea. Si sólo necesitas obtener un mapa de $F_i$ a $F_j$ para un par en particular $(i,j)$ se podría definir $F_j$ de manera diferente. En lugar de elegir simplemente $F_j$ para que $f_j:P_j\to E$ factores a través de ella, se podría formar primero el empuje de $P_j$ y $F_i$ en $P_i$ (que será otro módulo de presentación finita) y luego elegir $F_j$ para que el mapa de este empuje a $E$ factores a través de. De esta manera, tendrá mapas de ambos $P_j$ y $F_i$ a $F_j$ y formarán un cuadrado conmutativo con los mapas de $P_i$ según sea necesario.

Ahora, por supuesto, hay un problema con esto: usted necesita no sólo un mapa $F_i\to F_j$ para este particular $i$ pero para cada valor de $i$ que es menor que $j$ y todos estos mapas deben ser compatibles entre sí. Pero si su conjunto de índices fuera sólo $\mathbb{N}$ digamos, esto funcionaría, ya que sólo hay que conseguir mapas $F_n\to F_{n+1}$ para cada $n$ y se puede construir el $F_n$ y estos mapas uno por uno recursivamente. De forma más general, si sólo hubiera un número finito de $i$ debajo de $j$ , todavía se puede construir $F_j$ (suponiendo que ya tuvieras el $F_i$ y los mapas entre ellos para todos los $i<j$ ): en lugar de tomar un pushout, simplemente se tomaría el colímite de todo el diagrama formado por el $F_i$ y $P_i$ para $i<j$ junto con $P_j$ . (Es necesario tener un número finito de $i<j$ para estar seguros de que este colímite está finitamente presentado)

Así que ahora sólo tienes que arreglar que sólo hay finitamente muchos $i$ menos que cada $j$ en su conjunto de índices, y averiguar cómo construir el $F_j$ uno a la vez para que en cada etapa ya tenga el diagrama completo del $F_i$ para $i<j$ . Hay varias formas de hacerlo. He ocultado algunos detalles más sobre un enfoque a continuación.

No sé cómo has probado eso $E$ es un límite directo de módulos finitamente presentados, pero la prueba más obvia produce un sistema que ya tiene la propiedad de que cada $j$ sólo tiene un número finito de $i$ debajo de ella. Es decir, se fija alguna presentación de $E$ y entonces el conjunto de índices es el conjunto de pares $(A,B)$ donde $A$ es un subconjunto finito de los generadores y $B$ es un subconjunto finito de las relaciones, ordenado por inclusión en ambas coordenadas. Ahora se puede elegir el $F_j$ y todos los mapas en ellos por recursión en $|A|+|B|$ donde $j=(A,B)$ . Esto significa que cuando llegue el momento de construir $F_j$ ya habrá construido todo el diagrama de la $F_i$ para $i<j$ ya que todos tienen valores menores de $|A|+|B|$ .