¿Cuándo el espacio de secciones holomorfas del producto tensorial de dos haces de líneas está dado por el ámbito del producto tensorial de la base?

Question

Dejemos que $S$ sea una variedad compleja compacta y $L_1, L_2 \longrightarrow S$ sean dos haces de líneas holomorfas. ¿Bajo qué condiciones (espero que sea algo fácil de comprobar) en $L_1$ y $L_2$ es cierto el siguiente hecho:

Dejemos que $f_1, f_2 \ldots, f_n$ sea una base para $H^0(L_1)$ y $g_1, g_2, \ldots g_m$ sea una base para $H^0(L_2)$ . Entonces cada elemento $s \in H^0(L_1 \otimes L_2)$ puede expresarse como $\mathbb{C}$ -combinación lineal de $f_{i} \otimes g_j$ es decir, cualquier $h \in H^0(L_1 \otimes L_2)$ es de la forma $$ h = \Sigma c_{ij} f_{i} \otimes g_j $$ para algunos números complejos $c_{ij}$ .

Tenga en cuenta que no estoy pidiendo que esta expresión sea única (es decir, no estoy pidiendo que la colección $\{f_{i} \otimes g_j\} $ sean linealmente independientes en $H^0(L_1 \otimes L_2)$ ).

$\textbf{Remark:}$ 1) En general, esto no es cierto. Tome $S:= \mathbb{CP}^N$ , $L_1:= \mathcal{O}(2)$ y $L_2:= \mathcal{O}(-1)$ .

Me preguntaba si es cierto si por ejemplo cuando $L_1$ y $L_2$ son muy amplias?

2) Si esta pregunta se ha formulado con demasiada generalidad, ¿se sabe algo si $L_1= L_2 = L$ ? La afirmación resulta ser cierta si $L:= \mathcal{O}(1) \longrightarrow \mathbb{CP}^N$ .

$\textbf{Remark:}$ Quería preguntar si la afirmación es cierta cuando $L_1$ y $L_2$ son muy amplias (en lugar de amplias). Con esto me refiero al mapa Kodiara de $S$ a la proyectivización del dual de $H^0(L)$ es un mapa bien definido y una incrustación.

Answer 1

Esta cuestión se plantea a menudo y, en general, es falsa. Para un ejemplo sencillo, tomemos $S$ para ser una curva elíptica, $L$ un haz de líneas de grado dos. Entonces, se puede comprobar fácilmente que el mapa $H^0(L)\otimes H^0(L)\to H^0(L^2)$ no es sobreyectiva.

Answer 2

Existen amplios haces de líneas sin secciones globales no nulas. Por ejemplo, en cualquier curva lisa proyectiva no racional no hiperelíptica $X$ y puntos diferentes por pares $P,Q,R\in X$ el haz de líneas $\mathscr O_X(P+Q-R)$ es amplia pero no tiene secciones globales. Entonces dejemos que $\mathscr A$ sea un haz de líneas de este tipo y $n\in \mathbb N$ el mayor número entero tal que $H^0(X,\mathscr A^{2^n})=0$ . Por último, dejemos que $\mathscr L=\mathscr A^{2^n}$ . Entonces $H^0(X,\mathscr L)\otimes H^0(X,\mathscr L)=0$ , mientras que $H^0(X,\mathscr L^{2})\neq 0$ .

En su ejemplo de $X=\mathbb P^n$ funciona, porque todos los haces de líneas de grado positivo en $\mathbb P^n$ son muy amplias y dan una incrustación proyectivamente normal.