Preguntas sobre la urna bayesiana

Question

Hay dos urnas, cada una con cuatro pelotas de ping-pong. En una urna, tres de las pelotas son rojas y una es blanca; en la otra, tres son blancas y una es roja. Sin saber qué urna eliges, metes la mano y sacas, al azar, una bola roja. Vuelves a meter la bola en la la urna, mezclas el contenido y repites el experimento (recuerda que hay (recuerda que hay cuatro bolas más dentro de la urna). De nuevo sacas una bola roja. Basándonos en en este experimento de dos partes, ¿cuál es la probabilidad de que la urna que has elegido sea la que tiene las tres bolas rojas dentro?

No estoy muy seguro de cómo empezar esto. Si alguien puede indicarme la dirección correcta, se lo agradecería mucho.

Answer 1

Sólo son pistas, como se pide:

Dejemos que $U_i$ ser el caso de que se extraiga de la urna $i$ y que $R_i$ es el caso de que saque una bola roja en su ª extracción (con reemplazo).

He aquí algunas preguntas para orientar su reflexión:

1. Si se sabe que se extrae de una determinada urna, con reemplazo, ¿cuál es el modelo de probabilidad aplicable para extraer bolas rojas?
2. Supongamos que $P(U_i)=0.5$ ¿cuál es la probabilidad de sacar dos bolas rojas, en total? (Pista: es el denominador del teorema de Bayes). Piensa en la ley de la probabilidad total: Sus eventos se pueden dividir en "extracciones de $U_1$ " y "se nutre de $U_20$ "

Hazme saber si necesitas más, pero lo anterior debería llevarte a la solución.

Answer 2

Utilizando el Teorema de Bayes, lo que obtengo es que $$P(\mathbf{Urn1} | RR) = \frac{(P(RR|\mathbf{Urn1})) * P(\mathbf{Urn1})}{P(RR)}$$ Donde $P(RR|\mathbf{Urn1}) = 9/16 $ y $P(\mathbf{Urn1}) = 1/2$ .

Para encontrar $P(RR)$ utilizamos la ley de la probabilidad total: $$P(RR) =P(RR|\mathbf{Urn1}) *P(\mathbf{Urn1}) + P(RR|\mathbf{Urn2}) * P(\mathbf{Urn2})$$

Sabemos que $P(RR|\mathbf{Urn2}) = 1/16$ y $P(\mathbf{Urn2})$ también es $1/2$

Por lo tanto, obtenemos que $$P(RR) = (9/16)(1/2) + (1/16)(1/2) = .3125 $$

Introduce esto en la ecuación final para obtener $$P(\mathbf{Urn1} | RR) = \frac{(9/16)* (1/2)}{.3125} = 0.9$$

Hay un 90% probabilidad de que hayas elegido la urna con 3 bolas rojas dentro.