$F$ -campos vectoriales relacionados

Question

Tengo un poco de dificultad para entender $F$ -campos vectoriales relacionados. Creo que entiendo conceptualmente lo que ocurre (tomando un campo vectorial en una variedad $M$ y obtener un campo vectorial suave en $N$ aplicando el diferencial de un mapa), pero tengo problemas para aplicar el concepto.

Por ejemplo, he aquí un problema (8.14 en el libro de texto de Lee sobre Múltiples Suaves) Sea $M,N$ sean variedades suaves con o sin límite y sea $f:M\to N$ sea un mapa suave. Definir $F:M\to M\times N$ por $F(x)=(x,f(x))$ . Demuestre que para cada campo vectorial $X$ en $M$ existe un campo vectorial suave $Y$ en $M\times N$ que es $F$ relacionado con $X$ .

Ahora, veo que $F$ es el gráfico de $f$ y así $F(M)$ está cerrado en $M\times N$ y hay una proposición en Lee que dice que si tenemos un campo vectorial liso en un subconjunto cerrado, podemos extenderlo a un campo vectorial liso en toda la variedad. Sin embargo, no sé muy bien a dónde ir. Veo que $F(M)\subset M\times N$ es un colector incrustado, por lo que tenemos gráficos de cortes, pero estoy luchando para ver cómo construir este $Y$ .

Answer 1

Dejemos que $\Gamma=F(M)$ . Como ya se ha dicho, $\Gamma$ está cerrado en $M\times N$ . Por tanto, basta con demostrar que el campo vectorial rugoso en $Y$ a lo largo de $\Gamma$ definido por la ecuación $$Y_{(p,f(p))}=dF_p(X_p),$$ es un campo vectorial suave a lo largo de $\Gamma$ (, es decir, cada punto $(p,f(p))\in\Gamma$ tiene una vecindad en la que $Y$ admite una extensión suave).

Dejemos que $p\in M$ sea arbitraria, y que $(U,\varphi)$ y $(V,\psi)$ ser gráficos suaves sobre $x$ y $f(x)$ respectivamente, de manera que $f(U)\subset V$ . Sea $X^i$ denotan las funciones componentes de $X$ en $U$ : $$X=X^i\frac{\partial}{\partial x^i}\text{ on } U.$$ Tenga en cuenta que $X^i:U\to \mathbb{R}$ es suave porque $X$ es suave. Utilizando estas funciones, definimos $\tilde{Y}:U\times V\to T(M\times N)$ por $$\tilde{Y}_{(p,q)}=X^i(p)\frac{\partial}{\partial x^i}|_{(p,q)}+ \frac{\partial \hat{f}^i}{\partial x^j}(\varphi (p))\frac{\partial}{\partial y^i}|_{(p,q)},$$ donde $\hat{f}=\psi\circ f\circ \varphi^{-1}:\varphi(U)\to\psi(V)$ es la representación en coordenadas de $f$ . Dado que las funciones de los componentes de $\tilde{Y}$ son suaves, $\tilde{Y}$ también es suave. Claramente $\tilde{Y}$ y $Y$ se pone de acuerdo en su dominio común. Así, $\tilde{Y}$ es una extensión deseada.