Extracción de subvecinos saturados a partir de vecindarios de conjuntos de nivel en espacios cotizados compactos

Question

Dejemos que $q:X\to Y$ sea un mapa cociente de espacios topológicos, y $X$ un espacio compacto (podemos suponer que es Hausdorff, aunque probablemente no sea necesario). Ahora, supongamos que tenemos $y\in Y$ y $U\subset X$ es un abierto que contiene $q^{-1}\{y\}$ . Afirmo que existe algún barrio saturado $V$ tal que $q^{-1}\{y\}\subset V\subset U$ .

Mi única intuición para esto es el lema del tubo, que se aplica cuando $q$ es una proyección de un producto de dos espacios topológicos. Sin embargo, esto no parece generalizarse.

Answer 1

Usted pregunta si el mapa $q$ es cerrado debido al criterio del Thereom 1.4.12 de la "Topología general" de Ryszard Engelking (véase más adelante). Dado que $X$ es compacto, si $Y$ es Hausdorff entonces la respuesta es positiva, porque cualquier mapa continuo $q:X\to Y$ está cerrado.