$I$ -Cumplimiento de las normas

Question

Dejemos que $A$ sea un anillo noeteriano conmutativo, y supongamos que $A$ es $I$ -adicalmente completa con respecto a algún ideal $I\subseteq A$ . ¿Es cierto que para cualquier ideal $J\subseteq I$ el anillo $A$ también es $J$ -¿Adicionalmente completa?

Editar. Recordemos que un anillo $A$ es $I$ -adicalmente completa si el morfismo canónico $A\to \varprojlim A/I^n$ es un isomorfismo.

Answer 1

La respuesta es "sí".

Desde $A$ es noetheriano, para cualquier $m$ los generados finitamente $A$ -Módulo $A/J^m$ es $I$ -adicalmente completa, y así $A/J^m$ es el límite inverso sobre $n$ de $A/(I^n + J^m)$ . Ahora $J^m \subset I^m,$ y así $I^n \subset I^n + J^m \subset I^m$ cuando $n \geq m$ . Así, el límite inverso (sobre $m$ ) de $A/J^m$ es el mismo que el límite inverso (sobre $n$ ) de $A/I^n$ y vemos que $A$ es $J$ - y que se ha completado.

Otra forma de pensarlo es que $A$ es $I$ -adicalmente completa (y separada, lo que forma parte del requisito de "completa") si y sólo si cualquier $I$ -Secuencia de Cauchy de elementos de $A$ tiene un único $I$ -límite de la adicción. Dado que un $J$ -La sucesión de Cauchy, que es una secuencia de $I$ -secuencia de la década de los ochenta, a $J$ -adic Cauchy $(a_n)$ también tiene una única secuencia $I$ -límite de la adicción, digamos $a$ .

Ahora bien, si elegimos $n_0$ para que $a_m - a_n \in J^k$ si $m,n \geq n_0$ , entonces vemos que $a - a_m = a - a_{n} + a_{n} - a_m \in J^k + I^l,$ donde $l$ puede hacerse arbitrariamente grande eligiendo $n$ lo suficientemente grande (ya que $a_n$ converge a $a$ en el $I$ -topología de los radicales). Así, $a - a_m \in \cap_l J^k + I^l.$ Esta intersección es igual a $J^k$ (por $I$ -la exhaustividad de la $A/J^k$ ) y así $a-a_m \in J^k$ . Así, de hecho $(a_n)$ converge a $a$ en el $J$ -topología de la adicción, y por lo tanto $A$ es $J$ - y que se ha completado.