Probabilidad de la mediana de los números de un rango

Question

¿cómo calcular la probabilidad de que la mediana de 3 números aleatorios de 0 a n, que no están en [0,2n, 0,8n]? Creo que debería ser P(2 números < 0,2n) + P(2 números > 0,8n) + P(todos los números < 0,2n o > 0,8n). ¿Es correcto?

Answer 1

Lo resolví con combinaciones en mente:

Si dos de los números son menores que 0,2n, se garantiza que tendremos una mediana fuera de [0,2n,0,8n], sea cual sea el valor del número final. Las combinaciones de estos eventos tendrán el siguiente aspecto:

1. El número final es inferior a 0,2n = $P(<0.2n)^3$
   *En términos de combinaciones, sólo hay una manera de conseguir este caso.

2. El número final está entre 0,2n y 0,8n = $P(<0.2n)^2P(>0.2n ~and <0.8n)$
   *En términos de combinaciones, hay tres formas de obtenerlo

3. El número final es mayor que 0,8n = $P(<0.2n)^2P(>0.8n)$
   *En términos de combinaciones, hay tres formas de obtenerlo

Así que en el caso de que obtengamos dos números aleatorios menores que 0,2n, nuestra probabilidad de obtener una mediana fuera de [0,2n,0,8n] es:

$ P(<0.2n)^2 [ P(<0.2n) + 3*P(>0.2n ~and <0.8n) + 3*P(>0.8n)] $

Repitiendo esto para el caso en que dos números sean mayores que 0,8n y sumando los resultados se obtiene la ecuación final de:

$ P(median~is <0.2n~and >0.8n) =$

$P(<0.2n)^2 [ P(<0.2n) + 3*P(>0.2n ~and <0.8n) + 3*P(>0.8n)] + P(>0.8n)^2 [ 3*P(<0.2n) + 3*P(>0.2n ~and <0.8n) + P(>0.8n)]$

que puede ser resuelto:

$ = 0.2^2[0.2 + 3*0.6 + 3*0.2] + 0.2^2[3*0.2 + 3*0.6 + 0.2]$

$ = 0.208$

Símbolos:
$P(<0.2n)$ = Probabilidad de que un número aleatorio sea inferior a 0,2n
$P(>0.2n~and <0.8n)$ = Probabilidad de que un número aleatorio sea mayor que 0,2n y menor que 0,8n
$P(>0.8n)$ = Probabilidad de que un número aleatorio sea mayor que 0,8n