¿Línea de tiempo de los avances "fundacionales" en la teoría de la homotopía?

Question

Como forastero interesado, me ha intrigado el número de veces que la teoría de la homotopía parece haber renovado sus fundamentos en los últimos cincuenta años aproximadamente. A veces parece que se ha producido un estrechamiento del enfoque, mediante la elección de ignorar ciertos fenómenos "patológicos" -o al menos intrincadamente complicados-; en lugar de considerar todos los espacios topológicos, uno se centra sólo en los espacios generados de forma compacta o en los complejos de CW o algo así. O tal vez se opta por centrarse sólo en estable grupos de homotopía. Otras veces, parece que se ha producido una ampliación de la perspectiva, ya que se introducen nuevos objetos de estudio para llenar las lagunas percibidas en el paisaje. Los espectros son un ejemplo notable. Quedé fascinado cuando descubrí el artículo de Lewis de 1991, ¿Existe una categoría conveniente de espectros? , mostrando que una determinada lista de propiedades aparentemente deseables no puede satisfacerse simultáneamente. Entre los conceptos más recientes se encuentran las categorías de modelos, $\infty$ -y la teoría de tipos de homotopía.

Me preguntaba si alguien podría trazar una línea de tiempo de los "cambios fundacionales" más importantes en la teoría de la homotopía durante los últimos 50 años, junto con un par de frases breves sobre lo que motivó los cambios. Creo que un esquema de este tipo ayudaría a los matemáticos de los campos vecinos a comprender el propósito de todas las abstracciones modernas aparentemente tan sofisticadas, y reduciría la impenetrabilidad de la literatura actual.

Answer 1

Esta línea de tiempo es necesariamente muy subjetiva.

Teniendo en cuenta este descargo, podemos identificar algunos giros importantes en el desarrollo de los fundamentos de la teoría de la homotopía. La lista que sigue se concentra en los desarrollos que de alguna manera afectan a los fundamentos de la teoría de la homotopía, en contraposición a los avances generales en la teoría de la homotopía. Dada la longitud de la lista, probablemente he omitido muchos avances importantes, siéntase libre de señalarlos en los comentarios. También he excluido de la consideración la última década más o menos, limitándome a los desarrollos más antiguos.

Poincaré definido homología (a través de los números de Betti) y el grupo fundamental en una serie de documentos a partir de 1895. El planteamiento inicial no era riguroso, pero en respuesta a las críticas resultantes Poincaré reformuló su trabajo en términos de complejos simpliciales.

Fréchet definido espacios métricos en 1906 y Hausdorff definido espacios topológicos en 1914. Esto permitió estudiar las propiedades topológicas de los espacios sin necesidad de triangularlos previamente.

Hacia 1925, Emmy Noether propuso actualizar los números de Betti a grupos de homología . En relación con esto, en algún momento de la década de 1930, la terminología pasó de "topología combinatoria" a "topología algebraica".

Alrededor de 1931, Veblen y J. H. C.  Whitehead introdujo la definición moderna de colector liso .

Eilenberg definido homología singular en 1943, que dio lugar a un estudio sistemático de la homología y la cohomología (definida por Kolmogoroff y Alexander en 1936) de espacios topológicos arbitrarios.

Alrededor de 1945, Leray introdujo gavillas y secuencias espectrales . La teoría correspondiente fue desarrollada por Cartan , Serre y otros.

Eilenberg y MacLane introdujo categorías , functores y transformaciones naturales en 1945. Desde entonces, la teoría de categorías desempeñó un papel cada vez más importante en la teoría de la homotopía, hasta el punto de que ahora a menudo no podemos separarlas limpiamente.

Eilenberg y Zilber desarrolló la teoría de conjuntos simpliciales (conocidos en su momento como "complejos completos semisimplificados**) en 1949.

J. H. C.  Whitehead probó lo que ahora se conoce como el Teorema de Whitehead en 1948.

Eilenberg y Steenrod publicaron su Fundamentos de topología algebraica en 1952, formulando lo que ahora se conoce como la Axiomas de Eilenberg-Steenrod .

Alrededor de 1953, Cartan y Eilenberg completaron su libro sobre álgebra homológica (publicado en 1956).

Kan (asesorado por Eilenberg ) desarrolló sistemáticamente la teoría de homotopía simplicial (y brevemente también la teoría de homotopía cúbica) a partir de 1955. Introdujo los grupos de homotopía combinatoria, el Dold -Correspondencia de Kan, funtores adjuntos, límites y colímites, extensiones Kan, etc.

Lima definido espectro en 1958.

Quillen publicó su Álgebra homotópica en 1967, introduciendo categorías de modelos y los utiliza en su Teoría de la homotopía racional alrededor de 1968. Hacia 1972, introdujo teoría K algebraica superior .

En 1971, Gabriel y Ulmer publicaron su relato sistemático de categorías localmente presentables .

Segal introdujo -espacios alrededor de 1972. Al mismo tiempo, Mayo introdujo las operadas, también en relación con los espacios de bucles infinitos.

Marrón estudió la teoría de homotopía de gavillas de espacios y espectros en 1972.

Boardman y Vogt introdujo cuasicategorías en 1973.

En 1977, Sullivan publicó su obra sobre teoría racional de homotopía en el lenguaje de las álgebras diferenciales conmutativas graduadas, complementando el trabajo anterior de Quillen.

Dwyer y Kan introdujo y desarrolló la teoría de localizaciones simplificadas a partir de alrededor de 1979.

Alrededor de 1979, Bousfield introdujo lo que ahora se conoce como Localizaciones de Bousfield .

En 1983, Grothendieck introdujo lo que ahora se conoce como Teoría de la homotopía de Grothendieck así como derivadores .

En los años 80, Joyal estableció lo que ahora se conoce como el Estructura del modelo Joyal en conjuntos simpliciales.

A mediados de la década de 1980, Segal (después de Witten) introdujo lo que ahora se conoce como teoría de campos funcionales , posteriormente estudiado por Atiyah, Kontsevich, Freed, Lawrence y muchos otros.

En 1985, Jardine dio cuenta de presheaves simpliciales .

Alrededor de 1986, Lewis , Mayo , Steinberger , McClure introdujo un auténtico espectros equivariantes .

En 1989, Makkai y Paré publicó una relación sistemática de categorías accesibles .

En 1995, Báez y Dolan formuló la Cobordismo e hipótesis de enredo lo que tal vez sea la primera conjetura destacable sobre las categorías (,n) para un n arbitrario.

En 1997, Elmendorf , Kriz , Mandell , Mayo publicó el primer relato de un categoría monoidal simétrica de los espectros .

En 1998, Hovey , Shipley , Smith publicó un relato de espectros simétricos .

En 1998, Rezk introdujo espacios completos de Segal .

A finales de los años 90, Voevodsky introducido y desarrollado teoría de la homotopía motivacional (incluyendo algunos trabajos conjuntos con Morilla ).

Hacia finales de los años 90, Smith introdujo categorías de modelos combinatorios y demostró lo que ahora se conoce como el Teorema de reconocimiento de Smith y estableció la existencia de localizaciones de Bousfield izquierdas de categorías de modelos combinatorios propios izquierdos.

Categorías de modelos monoidales fueron estudiados sistemáticamente por Schwede y Shipley a partir de 1997.

En 2006 (basado en un preimpreso de 2003), Lurie 's Teoría del Topo Superior salió a la luz, primero como un borrador en línea, que luego se publicó.

Answer 2

Creo que Dmitri Pavlov hace un buen trabajo al exponer una línea de tiempo. En lugar de escribir una respuesta competitiva, permítanme tratar de añadir un par de cosas que creo que ha omitido, abordando algunos puntos del PO.

1940s Leray inventa secuencias espectrales (¡mientras estaba encarcelado por los nazis!) Esto se convierte en una herramienta computacional crítica en la teoría de la homotopía.

1948-1949 Whitehead presenta Complejos CW (y luego prueba el Teorema de Whitehead como escribió Dimitri)

1950 Serre presenta secuencias espectrales a la teoría de la homotopía y se convierten rápidamente en una de nuestras herramientas computacionales más fuertes.

1962 Marrón demuestra lo que ahora se conoce como el Teorema de representabilidad de Brown . Adams prueba otra versión importante en 1971. Este trabajo permite representar un functor $F$ por un objeto $E$ , lo que significa $F(X) \simeq Hom(X,E)$ . Hay varias versiones dependiendo de cómo se interprete $\simeq$ y $Hom$ . Posteriormente, este trabajo permite a los teóricos de la homotopía ver la conexión entre los espectros (objetos) y las teorías de cohomología generalizada (funtores).

1967 Steenrod ofrece una lista de condiciones que debe cumplir cualquier categoría de espacios para ser llamada categoría conveniente de espacios . Por un lado, deben ser cartesianas cerradas. La categoría de espacios generados de forma compacta es conveniente, al igual que la categoría de espacios Hausdorff débiles generados de forma compacta introducido por McCord en 1969 porque tiene propiedades aún mejores. La categoría de espacios CW es "demasiado pequeña", y esa es parte de la razón por la que los conjuntos simpliciales ganaron popularidad.

1969-1970: Mayo presenta operads (después de los conceptos estrechamente relacionados utilizados por Boardman, Vogt y Kelly ) y los utiliza para las máquinas de espacio de bucle infinito. La teoría de la homotopía se expande hasta tocar el álgebra universal.

1983: Grothendieck introduce el hipótesis de homotopía como parte de Persecución de las pilas y esto orienta la profundización de la conexión entre la teoría de la homotopía y la teoría de las categorías (superiores).

1984 Ravenel formula las conjeturas de Ravenel para orientar la teoría de la homotopía cromática. Este campo desarrolla herramientas computacionales (para calcular grupos de homotopía estables y otros grupos de cohomología generalizados) así como avances abstractos como el Teorema del Funtor Exacto de Landweber .

1988 Devinatz, Hopkins y Smith demostrar las conjeturas de Ravenel excepto la conjetura del telescopio, que sigue abierta hasta hoy. La teoría de la homotopía empieza a ser más categórica y los enfoques más abstractos ganan adeptos.

1990: Goodwillie presenta cálculo de funtores , dando lugar a una nueva rama de la teoría de la homotopía. Esto proporciona otra poderosa herramienta computacional.

1990s: Yo añadiría Hovey a la lista de personas que han estudiado sistemáticamente las categorías de modelos monoidales. Los presentó, por ejemplo Su libro y su preimpresión categorías de modelos monoidales elaboró aspectos importantes de la teoría. Hovey también introdujo categorías de modelos abelianos por el que la teoría de la homotopía puede tocar el álgebra homológica (vale, Quillen también lo hizo) y la teoría de la representación (a través de la categoría de módulos estables).

1994: Adamek y Rosicky elaboran la teoría de categorías localmente presentables que es fundamental para las categorías de modelos combinatorios y presentables $\infty$ -categorías, y hace posible muchos de los avances de los libros de Lurie en la década de 2000.

1998: Voevodsky presenta teoría de la homotopía motivacional y lo utiliza para demostrar la conjetura de Milnor. Gana la Medalla Fields en 2002. La teoría de la homotopía se expande para tocar la geometría algebraica.

2001: Mandell, May, Schwede y Shipley demostrar que los distintos modelos de espectros son monoideamente equivalentes en una forma fuerte Por lo tanto, puede utilizar cualquiera de ellos que desee.

2005 más o menos: Jeff Smith introduce la categoría de Espacios generados por Delta pero nunca publica nada al respecto. Otros demuestran que es conveniente y tiene una estructura de modelo combinatorio. Todas las opciones de categorías de espacios mencionadas son equivalentes homotópicamente (me refiero a la equivalencia de Quillen).

Década de 2000: se introducen muchos modelos diferentes para la noción de $(\infty,1)$ -categoría y se ha demostrado que son equivalentes. La misma historia posteriormente para $(\infty,n)$ -categorías.

2009: Voevodsky, Awodey, Warren, Shulman y otros introducen teoría de tipos de homotopía . La teoría de la homotopía se expande hasta tocar la teoría de tipos, la lógica y la informática. Parte de la motivación es mejorar los fundamentos de todas las matemáticas y desarrollar un software de comprobación de pruebas viable.

2010s: Lack, Verity, Riehl, Garner, Bourke y muchos otros desarrollan la teoría de la homotopía para las categorías de 2 y las categorías enriquecidas, así como la $\infty$ -cosmoi enfoque de $\infty$ -teoría de las categorías.

Answer 3

Gracias a Pavlov y a White existe ahora una lista casi completa de "puntos críticos" en la historia de la teoría de la homotopía.

Hay algunos elementos que tal vez deberían figurar en la lista, por ejemplo el periodo arcaico: Betti introdujo los números de Betti aquí en 1870 -por cierto, por muy simples que sean, los números de Betti siguen desempeñando un papel espectacular en la matemática aplicada, por ejemplo en la Homología Persistente.

Me gustaría sugerir una pequeña modificación: ampliar ligeramente sus 50 años, en cinco años, para incluir un verdadero Annus Mirabilis (1967), concretamente el trabajo de Quillen sobre Categorías de modelos .

Permítanme decir por qué creo que esto es realmente un avance y el comienzo de la era moderna (algunos de los trabajos posteriores a 2005 no son propiamente modernos, sino posmodernos, véase más adelante).

Antes de Quillen, en 1952 Steenrod y Eilenberg consiguieron que el Gran unificación de la cohomología , sin duda un gran avance en la serie de "esfuerzos fundacionales" en Topología Algebraica.

En cierto modo, Quillen intentó hacer lo mismo con el álgebra homotópica, introduciendo un conjunto de axiomas para "hacer homotopía" en una categoría. La noción clave aquí es equivalencia débil , es decir, un conjunto de mapas en el gato ambiente que contiene todos los isomorfismos.

Este simple paso es un cambio de paradigma fundacional, porque nos dice de qué trata la Homotopía:

pasamos de la igualdad (teoría de conjuntos)_ al isomorfismo (teoría de categorías) a la equivalencia (teoría de la homotopía ).

Quillen añade algunos axiomas sobre las fibraciones formales, las cofibraciones, para calcular los llamados límites y colímites de homotopía, es decir, lims y colims "hasta la homotopía"

NOTA antes de quillen la gente sabía de hom lim y hom colims: empezar con un gato con una estructura modelo, y "localizarlo", es decir, invertir formalmente todas las equivalencias débiles. El nuevo gato, llamado categoría de homotopía, no se comporta en general tan bien como los lims y colims estándar: hay que introducir por tanto un nuevo tipo de objetos universales apropiados para el contexto homotópico.

Así pues, a partir del Annus Mirabilis comienza un nuevo capítulo, pero no termina ahí. Como resultado del cambio de Quillen, ahora muchas "cosas" que no estaban bajo la rúbrica de la teoría de la homotopía, estructuras que ni siquiera son topológicas, adquieren un sabor homotópico.

Curiosamente, una de ellas es la propia teoría de las categorías: Cat, la categoría de los gatos pequeños, tiene una estructura de modelo por defecto, donde las equivalencias débiles son simplemente equivalencias de gatos.

Hubo varios intentos de generalizar y ampliar la mirada sobre la homotopía dada por las estructuras de los modelos, pero si nos centramos en las verdaderas ideas radicalmente nuevas, aquí va:

En la época dorada, una homotopía estándar era simplemente una deformación continua, es decir, un camino invertible entre mapas. En Quillen se empieza con las equivalencias débiles, pero volvamos a la deformación continua: si el gato en el que quiero introducir mis equivalencias débiles resulta ser un gato 2, y miro el grupo de mapas 2 en él, tengo mis deformaciones continuas.

Así pues, aquí está la idea clave que migra del enfoque moderno al posmoderno: no hay que mirar a un solo gato solo, sino verlo sólo como la base de un groupoide cada vez más alto (caminos, caminos de caminos, etc.) En lugar de ser la base de la homotopía, las estructuras modelo se convierten en modelos, o presentaciones, del OBJETO REAL de la homotopía, el grupo invariante del infinito en todo su esplendor. Esa idea básica ya está en Grothendieck, alrededor de 1983, quizá antes, pero ha florecido en todo un campo gracias a Voevodsky, Lurie, Rezk, etc.

Lo que es fascinante, es que la era posmoderna no es simplemente fundacional, sino que admite también un enfoque fundacionalista: una gran franja de las matemáticas en principio puede verse desde este ángulo, de "deshacerse de la igualdad", y sustituirla por equivalencias y sus versiones superiores. .