inducción matemática con exponente

Question

$$\frac 13 + \frac 1{3^2} + \frac 1{3^3} + \dots + \frac 1{3^n} + = \frac 12 \times \left( 1 - \frac{1}{3^n} \right)$$

Paso 1 - $n=1$ $$\begin{align} \frac 1 {3^1} & = \frac 1 2 \times \left( 1 - \frac 1 {3^1} \right) \\ \frac 1 3 & = \frac 1 2 \times \left( 1 - \frac 1 3 \right) \\ \frac 1 3 & = \frac 1 2 \times \frac 2 3 \\ \frac 1 3 & = \frac 1 3 \\ \end{align}$$

Paso 2 - n $=k$ $$ \frac 13 + \frac 1{3^2} + \frac1 {3^3} + \dots + \frac 1 {3^k} = \frac 12 \times \left( 1 - \frac 1 {3^k} \right)$$

Paso 3 - $n=k+1$

Tener problemas para resolver el paso 3.

Answer 1

Debe demostrar que $$\sum_1^k\frac{1}{3^i} + \frac{1}{3^{k+1}} = \frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{3^{k+1}}\right).$$

Aplicando la suposición de que $$\sum_1^k\frac{1}{3^i} = \frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{3^k}\right)$$ , puede obtener el resultado.

Answer 2

Por hipótesis, sabemos que $$ \frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\dots+\frac{1}{3^k}=\frac{1}{2}\bigg[1-\frac{1}{3^k}\bigg] $$ Por lo tanto, sumando a ambos lados por $\frac{1}{3^{k+1}}$ obtenemos $$\begin{align} \frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\dots+\frac{1}{3^k}+\frac{1}{3^{k+1}}&=\frac{1}{2}\bigg[1-\frac{1}{3^k}\bigg]+\frac{1}{3^{k+1}}\\ &=\frac{3^k-1}{2\cdot 3^k}+\frac{1}{3^{k+1}}\\ &=\frac{3^{k+1}-3+2}{2\cdot 3^{k+1}}\\ &=\frac{3^{k+1}-1}{2\cdot 3^{k+1}}\\ &=\frac{1}{2}\bigg[1-\frac{1}{3^{k+1}}\bigg] \end{align}$$