Encontrar los vectores de coordenadas de los vectores $~V~$ en relación con $~B'~$ .

Question

Así que tenemos bases

$$B = \{(-3,0,-3), (-3,2,1) , (1,6,1)\} $$ y $$B' = \{(-6, -6, 0), (-2, -6, 4), (-2, -3, 7)\}$$ de $~\mathbb R^3~$

Cómo encontrar los vectores de coordenadas de los vectores $~V~$ en relación con $~B'~$ si

$$[v]_b = (1,1,1)$$

No estoy seguro de cómo resolver este problema.

Answer 1

Como se explica en Azif00 El comentario de la señora, $[v]_B = (1,1,1)$ significa, con la base $B = \{B_1, B_2, B_3\}$ que

\begin{align} v & = 1 \times B_1 + 1 \times B_2 + 1 \times B_3 \\ & = 1 \times (-3,0,-3) + 1 \times (-3,2,1) + 1 \times (1,6,1) \\ & = (-5,8, -1) \tag{1}\label{eq1} \end{align}

Encontrando $v$ en relación con $B'$ significa encontrar $[v]_{B'} = (a,b,c)$ donde, con la base $B\,' = \{B\,'_1, B\,'_2, B\,'_3\}$ que

\begin{align} v & = a \times B\,'_1 + b \times B\,'_2 + c \times B\,'_3 \\ & = a \times (-6,-6,0) + b \times (-2,-6,4) + c \times (-2,-3,7) \\ & = (-6a - 2b - 2c, -6a -6b - 3c, 4b + 7c) \tag{2}\label{eq2} \end{align}

Comparando las coordenadas entre \eqref {eq1} y \eqref {req2} da lo siguiente $3$ ecuaciones lineales de

$$-6a - 2b - 2c = -5 \tag{3}\label{eq3}$$ $$-6a - 6b - 3c = 8 \tag{4}\label{eq4}$$ $$4b + 7c = -1 \tag{5}\label{eq5}$$

Resolviendo estos conjuntos de ecuaciones para $a,b,c$ le dará las coordenadas de $[v]_{B'}$ . Confío en que puedas terminar el resto por ti mismo.

Answer 2

Respondo a esta pregunta para cualquier transformación de Basis $E$ a la base $B$ . Sea $E = (e_1, e_2, e_3)$ sea la antigua base de coordenadas, entonces cualquier vector $x=(x_1, x_2, x_3)$ puede escribirse como $x = x_1e_1+x_2e_2+x_3e_3$ . Sea $B = (b_1, b_2, b_3)$ sea el nuevo sistema de coordenadas. Sea $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ sean las coordenadas de $x$ con respecto a la nueva base. Entonces $x$ puede escribirse como $x = \alpha_1b_1+\alpha_2b_2+\alpha_3b_3$ . Así que

\begin{equation} \begin{split} \alpha_1b_1+\alpha_2b_2+\alpha_3b_3 &= x_1e_1+x_2e_2+x_3e_3\\ [b_1, b_2, b_3](\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)^{T} &= [e_1, e_2, e_3] (x_1, x_2, x_3)^{T}\\ (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)^{T} &= [b_1, b_2, b_3]^{-1} [e_1, e_2, e_3] (x_1, x_2, x_3)^{T} \end{split} \end{equation}

Por lo tanto, la matriz de transformación (de la base $E$ a $B$ ) viene dada por $T = [b_1, b_2, b_3]^{-1} [e_1, e_2, e_3]$