Símbolo confuso - Libro de trigonometría plana

Question

Actualmente estoy revisando un libro titulado "A Treatise in Plane Trigonometry" de Hobson que fue escrito en $1891$ y no siempre explica el uso de los símbolos.

El autor muestra dos identidades trigonométricas (quiero demostrarlas)

$$\tag 1 \sum \sin 2A \sin^2 (B+C) - \sin 2A \sin 2 B \sin 2C = 2 \sin(B+C) \sin(C+A) \sin(A+B) \\ \sum \cos 2A \cos^2 (B+C) - \cos 2A \cos 2 B \cos 2C = 2 \cos(B+C) \cos(C+A) \cos(A+B)$$

Luego afirma que estas dos identidades se basan en la identidad algebraica

$$\tag 2 \sum 2a (b+c)^2 -8abc = 2(b+c)(c+a)(a+b)$$

En ambos casos, no entiendo cómo está utilizando el $\sum$ símbolo. ¿Sólo se aplica al primer elemento del lado izquierdo o a ambos términos?

He probado algunas permutaciones en $(2)$ Pero todavía no lo veo y probablemente sea algo simple.

¿Alguien puede arrojar luz sobre cómo leer y derivar correctamente $(2)$ ?

Answer 1

Creo que $\sum$ se utiliza para la suma circular, es decir: $$\sum2a(b+c)^2=2a(b+c)^2+2b(a+c)^2+2c(a+b)^2.$$ Al menos, la identidad algebraica que se afirma es verdadera utilizando esta interpretación.

Answer 2

En ambos casos, no entiendo cómo está utilizando el $\sum$ símbolo. ¿Sólo se aplica al primer elemento del lado izquierdo o a ambos términos?

Sólo el primer punto, $\sum x + y$ suele entenderse como $(\sum x) + y \ne \sum (x+y)\,$ .

$$\sum 2a (b+c)^2 -8abc = 2(b+c)(c+a)(a+b)$$

El LHS es una suma cíclica, a menudo escrita como $\sum_{cyc}\,$ :

$$\sum_{cyc} 2a (b+c)^2 -8abc = 2a(b+c)^2+2b(c+a)^2+2c(a+b)^2 - 8abc$$

¿Alguien puede arrojar luz sobre cómo [...] derivar (2) ?

Puede simplemente ampliar, recoger y cancelar los términos en ambos lados. O bien, para un atajo, observe que el LHS es $0$ para $a=-b$ por lo que (considerado como un polinomio en $a$ ) debe tener un factor de $(a+b)$ . Por simetría, también debe tener factores de $(b+c)$ y $(c+a)\,$ , entonces lo que queda debe ser una constante (por consideraciones de grado). Finalmente, tomemos por ejemplo $a=b=c=1$ para calcular el factor constante de $2$ .