Resolución de congruencias no lineales

Question

$x^2+2x+2\equiv{0}\mod(5)$ , $7x\equiv{3}\mod(11)$

---

Mi intento:

$x^2+2x+2\equiv{0}\mod(5)$

$(x+1)^2\equiv-1\mod(5)$ tenemos $x+1\equiv-1\mod(5)$

desde $5$ y $11$ son coprimos. Tenemos una solución en $\mathbb{Z}_{11}$

Con $[3]$ representan $3$ , $[13]$ trabaja para $7x\equiv3\mod11$

así que $[3]$ es la solución en $\mathbb{Z}_{55}$

La solución general es $x=-2+k55$ .

Pero la respuesta es errónea..

Answer 1

Como has dicho, $(x+1)² \equiv -1 \equiv 4 \pmod 5$ Por lo tanto $(x+1)\equiv 2 or -2 \pmod 5$ . Ahora bien, si $(x+1)\equiv -2 \equiv 3 \pmod 5$ entonces, como también $x\equiv 2 \pmod {11}$ es una solución a la última congruencia, una solución es $x\equiv 2 \pmod {55}$ . Por otro lado, para $x\equiv 1 \pmod {5}$ debemos resolver para $x\equiv 2 \pmod {11}$ . Utilizando el Teorema del Recordatorio Chino, concluimos que la otra solución viene dada por $x\equiv 11-20\equiv -9 \pmod{55}$ .
P.D. Aquí podríamos ver la TRC como una descomposición de anillos. Pero en esencia, se trata de encontrar enteros $x_i$ tal que $\Sigma _ia_ix_i \pmod b$ es una solución de las congruencias $x\equiv a_i \pmod {b_i}$ , donde $b=\Pi_ib_i$ .
Referencia

Answer 2

$\rm mod\ 5\!:\ 0 \equiv x^2+2x+2 \equiv x^2-3x+2 \equiv (x-1)(x-2)\:\Rightarrow\: x\equiv \color{#C00}1,\,\color{#0A0}2.$

$\rm mod\ 11\!:\ 7x\equiv 3\equiv 14\:\Rightarrow\:x\equiv 2.\ $ Resolviendo estas congruencias se obtiene

• $\rm\ \ x\equiv 2\ mod\ 11,\ x\equiv \color{#0A0}2\ mod\ 5\,\Rightarrow \: x\equiv 2\ mod\ 55.\ $

• $\rm\ \ x\equiv 2\ mod\ 11,\ x\equiv\color{#C00} 1\ mod\ 5\!:\, 1 \equiv x\equiv 2+11n\equiv 2+n\Rightarrow n\equiv -1,\,$ así
  $\rm\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\ \ x = 2 + 11(-1 + 5k)\equiv -9\equiv 46\ mod\ 55.$